35. Функция ...

Рассмотрим преобразование плоскости, совершаемое функцией

где k — некоторое заданное положительное число. Посмотрим, во что перейдет сетка полярных координат плоскости , т. е. во что перейдут окружности с центром в начале, и во что перейдет пучок прямых проходящих через начало. Подставляя в формулу и отделяя вещественную и мнимую части, получим равенства

Рассмотрим окружность Нетрудно исключить из уравнений (31), что приводит к уравнению

т. е. упомянутая окружность переходит на плоскости w в эллипс с полуосями

причем в выражении для b мы пишем абсолютное значение, потому что разность может быть как положительной, так и отрицательной. Уравнения (31) при дают, очевидно, параметрическое уравнение этого эллипса. В случае единичной окружности уравнения (31) дают т. е. эллипс вырождается в отрезок вещественной оси, пробегаемой два раза или, как мы будем говорить, в двойной отрезок. При уменьшении от единицы до нуля эллипсы будут беспредельно расширяться и покроют всю плоскость, и таким образом внутренности единичного круга будет соответствовать вся плоскость w с разрезом Точно так же при увеличении от единицы до бесконечности мы получим такие же беспредельно расширяющиеся эллипсы, т. е. части плоскости , находящейся вне единичного круга, будет также соответствовать вся плоскость w с разрезом . Полная плоскость z перейдет в двулистную риманову поверхность на плоскости w с точками разветвления . В соответствии с этим функция, обратная (30):

будет двузначной и будет иметь упомянутые точки разветвления. Обратимся к более подробному рассмотрению эллипсов (31). Фокусы этих эллипсов находятся на вещественной оси, и их абсциссы вычисляются, как известно, через полуоси а и по формуле . В данном случае будем иметь

т. е. при всяком значении фокусы будут находиться на концах отрезка , или, иначе говоря, эллипсы (32) будут софокусными.

Посмотрим теперь, во что перейдут прямые Исключая из уравнений (31) переменную , будем иметь

т. е. получим семейство гипербол с полуосями

Покажем, что эти гиперболы будут софокусны рассмотренным выше эллипсам. Как известно, у гипербол (33) фокусы находятся на вещественной оси, и абсциссы фокусов выражаются через полуоси по формуле . В данном случае , т. е. действительно эллипсы и гиперболы софокусны. Гиперболы, соответствующие координатным осям плоскости z

вырождаются в ось и в отрезки вещественной оси.

Рис. 34.

Таким образом, мы можем окончательно сказать, что сетка полярных координат плоскости z переходит в результате преобразования (30) в сетку софокусных эллипсов и гипербол, имеющих фокусы в точках

Нетрудно построить функцию, для которой сетка софокусных эллипсов и гипербол будет служить изотермической сеткой. Для этого напомним то, что мы раньше знали относительно преобразования, совершаемого показательной функцией [19]:

имеющей период . Из формулы

непосредственно вытекает, что линии переходят в окружности с центром в начале и радиусом а линии переходят в прямые проходящие через начало, т. е. функция преобразует сетку декартовых координат плоскости z в сетку полярных координат плоскости w.

Рассмотрим функцию вида

имеющую период Из написанной формулы непосредственно вытекает, что и для этой функции сетка декартовых координат переходит в сетку полярных координат, но только линии переходят В окружности и линии прямые.

Рассмотрим теперь функцию

В результате преобразования (34) сетка декартовых координат перейдет в сетку полярных координат, и затем в результате преобразования (35) сетка полярных координат перейдет в вышеуказанную сетку софокусных эллипсов и гипербол. Но применение упомянутых двух преобразований от к и от к w дает в окончательном результате преобразование таким образом, функция переводит сетку декартовых координат в сетку софокусных эллипсов и гипербол, т. е. эта последняя сетка является изотермической сеткой на плоскости w для функции . Если бы мы стали рассматривать обратную функцию , то для нее сетка софокусных эллипсов и гипербол была бы изотермической сеткой на плоскости z.

Совершенно так же, как и в предыдущем номере, мы можем получить из предыдущих рассуждений некоторые результаты, касающиеся конформных преобразований. Одно из значений функции преобразует плоскость w с разрезом во внутренность единичного круга плоскости z. Та же функция преобразует часть плоскости, находящуюся вне эллипса (32), при каком-либо фиксированном во внутреннюю часть круга с центром в начале и радиусом , где Если мы возьмем другое значение функции , то получится часть плоскости, лежащая вне указанной окружности, если взять . Точно так же одно из значений функции конформно преобразует часть плоскости w, лежащую между двумя ветвями гиперболы (33), на угол плоскости z, определяемый неравенствами: где .

Подробное рассмотрение конформных отображений, связанных с кривыми второго порядка, имеется в книге И. И. Привалова «Введение в теорию функций комплексного переменного».