79. Асимптотическое разложение интеграла.

Вернемся к рассмотрению интеграла (186). Пусть регулярны в некотором круге

и имеют разложения

Предположим, далее, что вне круга (187) на контуре интегрирования выполняется неравенство

и существует такое что

где и М — определенные положительные числа. Из (189) и (190), как мы увидим, следует, что интеграл (186) абсолютно сходится при . Конечность или бесконечность пути интегрирования при этом не играет роли. Отметим еще, что значение функции будет фиксировано на начальном участке а тем самым и на всем контуре. Перепишем интеграл (186) в виде

Обозначим через части расположенные соответственно внутри и вне круга (187), и оценим интеграл

Используя (189) и (190) и выбирая получаем

Отсюда следует, что

т. е. при интеграл по убывает по показательному закону и тем самым быстрее любой отрицательной степени п. В оставшемся интеграле по мы выделим члены различного порядка относительно Введем следующее обозначение:

и перейдем от переменной z к новой переменной t, положив

В силу сказанного выше на так что на Принимая во внимание разложение для получаем [23]

Как упомянуто выше, мы выбираем при определении ту ветвь корня, которая отображает контур на положительную часть вещественной оси плоскости Для этого надо иметь

где определяется формулой (185) и в правой части надо брать арифметическое значение корня. Степенной ряд (192) имеет однозначное обращение

где

Мы можем считать, что число R в неравенстве (187) было выбрано настолько малым, что круг согласно формуле (193), получается из некоторой области, содержащейся в круге в котором функция регулярна.

Будем считать, что концу контура расположенному на окружности соответствует значение так что контур отображается в отрезок вещественной оси.

Выполняя в интеграле указанную замену переменных, получаем

На интервале множитель, стоящий при экспоненте под знаком интеграла (195), может быть записан в виде

причем имеет место равномерная оценка

где мы считаем вещественным. В силу определяется формулой

а для остальных коэффициентов получаются, как можно показать» следующие выражения:

где — коэффициенты при в разложении

Выполняя в форлгуле (195) почленное интегрирование, получим

Оценим интеграл от остаточного члена и покажем, что он порядка Используя неравенство (196), приходим к оценке

В последнем интеграле перейдем к новой переменной

и, следовательно, действительно

Рассмотрим теперь интегралы, стоящие под знаком суммы в формуле (199). Прибавляя и вычитая интеграл по промежутку , получим

В первом интеграле перейдем к переменной

Второй интеграл в равенстве (200) оценим и покажем, что он имеет порядок . Умножим и разделим подинтегральную функцию на

Если множитель монотонно убывает при Вынося этот множитель на нижнем пределе интегрирования и расширяя затем

промежуток интегрирования, мы придем к следующей оценке:

Поскольку множитель в круглых скобках не зависит от полученная оценка, показывает, что действительно

где Подставляя найденные выражения для интегралов в формулу (199), получаем асимптотическое представление для :

Так как величины убывают быстрее любой отрицательной степени и мы вправе объединить их со слагаемым

Наш исходный интеграл имеет вид

и мы показали, что Подставляя разложение (201) в формулу (202) и вновь объединяя величину со слагаемым мы получаем искомое асимптотическое разложение интеграла

Полученное разложение можно записать также в виде

Мы получили, таким образом, для интеграла асимптотическое разложение по дробным степеням причем остаточный член убывает при на быстрее по сравнению с последним слагаемым суммы.

Сохраняя в сумме (203) лишь слагаемое, соответствующее мы получим для интеграла формулу первого приближения

До сих пор мы рассматривали простейший случай, когда контур интегрирования в интегралах начинался в самой седловой точке . В приложениях встречаются интегралы

распространенные по контуру начало и конец которого расположены в отрицательных секторах функции . При этом контур интегрирования может быть как конечным, так и бесконечным. Будем предполагать, что исходный контур интегрирования удается, не меняя величины интеграла, продеформировать так, чтобы он проходил через седловую точку и в некотором круге с центром в седловой точке совпадал с линиями наибыстрейшего убывания функции Будем считать при этом, что контур «входит» в седловую точку в отрицательном секторе и «выходит» из седловой точки в отрицательном секторе .

Кроме того, будем предполагать, как и выше, что в круге функции разлагаются в ряды (188), вне этого круга на контуре интегрирования выполняется неравенство

и при некотором интеграл (204) абсолютно сходится. Для получения асимптотического разложения в этом случае, очевидно, интеграл следует представить в виде разности двух интегралов. Пусть - части контура, на которые он разбивается седловой точкой Пусть при этом контур расположен в отрицательном секторе с номером и на контуре определено направление, противоположное направлению интегрирования вдоль L, контур расположен в отрицательном секторе с номером и на контуре определено направление, совпадающее с направлением интегрирования вдоль L. Введем интегралы

Тогда

Для каждого из интегралов очевидно, справедлива формула (203). Фазы коэффициентов b в этой формуле зависят от принадлежности контура интегрирования тому или иному сектору. Поэтому впредь коэффициенты в формуле (203) мы будем записывать в виде указывая при помощи верхнего индекса, для какого сектора вычислен соответствующий коэффициент. Принимая во внимание последнее замечание, для интеграла (206) мы получаем, таким образом, следующее асимптотическое разложение:

В первом приближении мы будем, очевидно, иметь

Рассмотрим случай простой точки перевала и будем считать . В случае простой точки перевала и существуют только два отрицательны! сектора Пусть Нетрудно установить при помощи формулы что при выполняются равенства

Поэтому в формуле (207) остаются только четные слагаемые, и мы получаем разложение по целым отрицательным степеням :

В первом приближении