117. Построение асимптотических разложений методом после довательных приближений.

Рассмотрим уравнение (200) и будем считать сначала Перепишем его в виде

где - ряды, расположенные по целым неотрицательным степеням сходящиеся в некоторой области вида .

Сначала мы будем рассматривать z на луче Отметим следующий факт: уравнение

где непрерывна и интеграл

существует, имеет единственное решение, равное единице при и это решение выражается формулой

Интегралы берутся по промежутку . Если , то

Легко видеть, что дифференциальное уравнение (206) вместе с указанным условием при равносильно следующему интегродифференциальному уравнению:

Интегрируя по частям, получаем

где

и — ряды того же типа, что и сходящиеся при . Применим к уравнению (208) метод последовательных приближений, обозначая для краткости письма правую часть его через

Нетрудно видеть, что все имеют производные всех порядков при и стремятся к единице при . Из (210) следует

Фиксируем какое-либо и пусть при z, меняющемся на промежутке Существует, очевидно, такая постоянная что промежутке Предыдущая формула дает на этом промежутке

откуда

Фиксируя так, чтобы иметь получим на промежутке

Отсюда следует, что ряд

равномерно сходится на стремится к некоторой предельной функции равномерно по Эта непрерывная функция есть сумма равномерно сходящегося ряда (215), и в силу (210) она является решением интегрального уравнения (208). Из этого уравнения следует, что имеет на производные всех порядков и стремится к единице при Принимая во внимание (209) и интегрируя в правой части (208) по частям обратно тому, как это мы делали при переходе от (207) к (208), убедимся в том, что удовлетворяет уравнению (207), а из этого следует, что есть решение дифференциального уравнения при

Переходим теперь к построению асимптотического разложения на луче . Мы будем исходить при этом из формул (210). Выпишем явное выражение обозначения

При вычислении надо положить . Пусть некоторое целое число. Докажем следующее утверждение:

Теорема. Если имеет на степенное асимптотическое разложение вида

то имеет разложение вида

где зависят от

При подстановке в правую часть (216) вместо последнего слагаемого выражения (217), имеющего при больших оценку

где а — постоянная, получим, применяя оценки, аналогичные (212) и (213), величину При подстановке слагаемых вида получим

Во втором интеграле подинтегральная функция есть ряд по целым положительным степеням, начинающийся с члена порядка Почленное интегрирование, очевидно, допустимо, и мы получаем ряд того

же типа, начинающийся с В первом слагаемом формулы (219) мы получаем выражения вида

Для него мы получили асимптотическое представление в [112], которое начинается с члена порядка причем берем а члены, имеющие порядок выше , заменяем на Таким образом, для получаем разложение (218). Коэффициенты зависят от и заданных функций . Теорема доказана.

Из нее следует при что

Применяя последовательно формулу (210), получаем

Складывая, получаем

где

Далее имеем

где b — постоянная. Принимая во внимание (213), получаем

т. e. , и в силу (220) имеем окончательно асимптотическое представление

при любом фиксированном целом , или

Мы получили это разложение на положительной части вещественной оси. Все вышеприведенные рассуждения применимы в секторе

в котором при интегрировании, например, вдоль луча с постоянным аргументом от z до вещественная часть показателя отрицательна и беспредельно возрастает по модулю. Последовательные приближения, получаемые по формуле (210), будут регулярными функциями в указанном секторе, и в нем будет иметь место асимптотическое разложение (222). Можно показать, что этот результат имеет место и в более широком секторе, а именно в секторе, который получается из полной плоскости исключением из нее сектора с углом биссектрисой которого является отрицательная часть вещественной оси, где любое малое фиксированное число. В основном сохраняется предыдущее доказательство, но интегрирование в формуле (210) надо проводить сначала по окружности с центром в начале, а затем по лучу содержащемуся в промежутке

Мы рассматривали выше лишь тот случай, когда Если есть любое отрицательное число, т. е. вводя вместо z новую независимую переменную где подходящим образом выбранная постоянная, мы можем привести уравнение (200) к случаю Положим, что Совершая замену которой соответствует поворот плоскости вокруг начала на угол мы заменим на отрицательное число и будем иметь разложение (222). Возвращаясь к исходной плоскости, мы можем утверждать, что асимптотическое разложение (222) будет иметь место в секторе в .

Вернемся к исходному уравнению (193). Обозначая через и а корни (различные) уравнения (195) и вводя числа

мы сможем сформулировать следующий результат: уравнение (193) имеет два решения, имеющих асимптотические представления

в секторах

иначе говоря, на полной плоскости с выделением из нее сектора с углом , имеющим биссектрисой прямую Отметим, что мы получили формально разложение решения уравнения (193) в ряд вида

которое определялось с точностью до постоянного множителя. Покажем, что полученное выше асимптотическое разложение (223) совпадает с указанным формальным разложением (203) при Это достаточно сделать для случая Из (208) следует

Рассуждая, как и выше, убедимся в том, что правая часть, а следовательно и разлагается в асимптотический ряд вида

Члены порядка входят в первое и третье слагаемые правой части формулы (225) и взаимно сокращаются.

Интегрируя разложение (226) [112], получим

Из уравнения (206) вытекает разложение и из вида правой части этого уравнения следует, что это разложение начинается с члена где . Но, производя интегрирование этого разложения и принимая во внимание (226) и единственность разложения, можем утверждать, что разложение начинается с члена порядка Из сказанного следует, что асимптотическое разложение можно почленно дифференцировать и что полученные таким образом разложения формально удовлетворяют уравнению (206), т. е. асимптотическое разложение (223) совпадает с полученным в [116] разложением при Если мы будем почленно дифференцировать уравнение (206), то убедимся в том, что производные всех порядков функции имеют асимптотические разложения.

К уравнениям вида (112), к которым мы применяли метод Лапласа, естественно, применим и метод последовательных приближений. При применении метода Лапласа мы получали непосредственно коэффициенты асимптотических рядов для решений, и нетрудно проверить, что они и сами решения совпадают с точностью до произвольного постоянного множителя с теми, которые получаются формальным разложением по методу из Для уравнений вида (112) метод Лапласа и метод последовательных приближений приводят, естественно, к одному и тому же результату. Но представление решения в виде интеграла Лапласа легко приводит, как это мы видели для функций Ханкеля, к сектору с углом внутри которого асимптотическая формула имеет место. Такое расширение сектора уже не имеет места для функций Бесселя.

Указанное выше применение метода последовательных приближений для луча изложено в курсе Пикара (Рiсагd, Traits d’Analyse, t. III, 1927) и в общем случае в книге: Д. Три ком и Дифференциальные уравнения, 1962.