175. Новые обозначения.

Теория эллиптических функций при подробном изложении содержит весьма обширный формальный аппарат, которым и приходится пользоваться при приложении этих функций. К сожалению, не все авторы при изложении придерживаются одних и тех же обозначений. Мы излагаем лишь самые основы теории и не будем приводить многочисленных и часто весьма полезных формул, встречающихся в теории эллиптических функций. Все же в дальнейшем нам надо будет иметь дело с более сложным формальным аппаратом, чем это было до сих пор. Мы остановимся при этом на обозначениях, которые ведут свое происхождение в существенном от Якоби и которые систематически проведены в книге Гурвица. Мы следуем изложению этой книги в нескольких следующих пунктах.

В дальнейшем нам придется часто иметь дело с половинами чисел а потому, чтобы избежать дробей, мы вместо введем обозначение

В соответствии с этим мы положим также

Основным элементом построения дальнейших функций будут не сами числа как это, например, было для функции а их отношение

или другая величина, непосредственно связанная с этим отношением:

Введем также вместо аргумента и два новых аргумента:

Предыдущие обозначения нарушают симметрию чисел и т. е. эти числа играют различную роль в предыдущих обозначениях. Мы будем всегда считать, как и раньше, что отношение — имеет положительный коэффициент при т. е. если положить то и, следовательно,

При таком выборе и мы имели соотношение Лежандра (51), которое при новых обозначениях перепишется в следующей форме:

Отметим некоторые следствия, вытекающие из принятых обозначений. Имеем согласно (81)

и точно так же

т. е., например, добавление числа к и равносильно добавлению числа или умножению на а добавление и числа равносильно добавлению у к к или умножению на Заметим еще, что мы будем всегда определять степени h и z как