94. Логарифм матриц.

Выше мы определили путем обращения матрицы степенной ряд для логарифма матрицы [88]

Он будет сходящимся, если все собственные значения X находятся в круге и значения в этом круге определяются условием Сумма ряда У удовлетворяет уравнению

Для любой матрицы X вида

где , уравнение (73) имеет решение

где для можно брать любое значение. Действительно,

В частности, для матрицы имеем

где целые числа и - любая неособая матрица. Если среди чисел есть различные, то написанная формула дает бесчисленное множество значений Если все одинаковы, то правая часть принимает вид где — общее значение Рассмотрим теперь вопрос об определении регулярной функции притом для матриц, не обязательно представимых в виде (74). Пусть все различные собственные значения X. Проведем на плоскости z бесконечный разрез из точки не пересекающий точек На плоскости с указанным разрезом есть однозначная регулярная функция. Введем для краткости следующее обозначение для различных значений

Пусть замкнутые круги на плоскости с разрезом, не имеющие общих точек с ним и такие, что внутри находится точка

Сопоставим каждому кругу целое число и определим функцию

где граница Эта функция является регулярной функцией, т. е. элементы У — регулярные функции элементов X, если собственные значения находятся внутри Кроме того, по свойству 4° из [92] матрица удовлетворяет уравнению (73), ибо при

Положим теперь, что матрицы удовлетворяют уравнению (73), и рассмотрим задачу об определении в окрестности матрицы регулярной функции такой, что . Пусть — все различные собственные значения откуда следует, что среди находятся собственные значения . Предположим, что

где — какое-либо целое число, отличное от нуля. При этом числа различны и совокупность этих чисел дает все различные собственные значения . Выбирая целые числа так, чтобы выполнялись условия

и строя по формуле (76), получим решение указанной выше задачи.

Отметим, что если условие (77) не выполнено, т. е. если хотя бы для одной из разностей имеет место формула где — целое число, отличное от нуля, то число q различных собственных значений у матрицы будет меньше чем , и, следовательно, предыдущее построение провести не удастся. Легко показать, что в этом случае задача построения регулярной функции такой, что о, вообще не имеет решения.

Отметим, что всякое значение определенное как решение уравнения (73) и регулярное в окрестности матрицы (включая может быть получено путем аналитического продолжения из любого начального аналитического элемента этой функции, например из ряда (72).