32. Линейное преобразование.
В качестве первого примера конформного преобразования рассмотрим наиболее простую линейную функцию
откуда
Эта функция переводит всю плоскость, включая бесконечно далекую точку, в себя, причем бесконечно далекая точка также переходит в себя, т. е. остается на месте. В частном случае при 
мы имеем функцию 
которая дает параллельный перенос плоскости на вектор, соответствующий комплексному числу b. В другом частном случае 
некоторое вещественное число) дело сводится к прибавлению к аргументу 
числа 
и это преобразование 
есть, очевидно, поворот плоскости вокруг начала на угол 
Общий случай движения плоскости как целого получится соединением поворота и параллельного переноса:
Если 
, т. е. если мы имеем дело не с чистым параллельным переносом, то из формулы (10) нетрудно определить координату неподвижной точки преобразования, т. е. той точки, которая останется на своем месте в результате преобразования. Координата этой точки определится из уравнения
Нетрудно проверить, что преобразование (10) может быть написано в виде
т. е. общий случай движения плоскости (10) мы можем рассматривать как поворот плоскости вокруг точки 
на угол 
. Заметим, что преобразование (10) будет иметь еще вторую неподвижную точку на бесконечности.
Перейдем теперь к рассмотрению того случая, когда модуль коэффициента а в линейном преобразовании (9) будет отличен от единицы. Вводя модуль и аргумент числа а, рассмотрим преобразование в случае 
Здесь дело сводится к умножению длины радиуса вектора из начала в точку z на 
и к повороту плоскости вокруг начала на угол 
Такое преобразование называют преобразованием подобия с центром подобия в накале и с коэффициентом подобия 
.
Рассмотрим теперь линейное преобразование (9) в общем случае при 
Вводя неподвижную точку преобразования
мы можем переписать формулу (9), как это нетрудно проверить, в виде
и имеем здесь, очевидно, преобразование подобия, но только с центром не в начале координат, а в точке 
Предоставляем читателю показать, что в данном случае изотермическая сетка будет состоять из двух семейств параллельных прямых линий, что очевидно и чисто геометрически.
