63. Интегрирование системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Изложим теперь применение теории вычетов к задаче интегрирования системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрим такую систему:

где постоянные коэффициенты и через мы обозначили производные от искомых функций по независимой переменной L Будем искать решение этой системы в следующем виде:

где суть искомые рациональные функции от z, и символом

мы обозначаем здесь и в дальнейшем сумму вычетов функции относительно всех особых точек, лежащих на конечном расстоянии. В формулах (50) функции, стоящие под знаком суммы вычетов, зависят не только от комплексного переменного , относительно которого и рассчитываем вычеты, но и от вещественного параметра t, так что и сумма вычетов будет, вообще говоря, функцией этого параметра t Так как совершенно независимы между собой, то можно при дифференцировании функции (50) по t производить дифференцирование под знаком суммы вычетов, т. е. мы будем иметь один и тот же результат, если сначала продифференцируем функцию

по t и потом возьмем сумму ее вычетов, или если сначала возьмем сумму вычетов функции (51), а затем полученный результат продифференцируем по t Таким образом, наряду с формулами (50), имеем следующие формулы:

Подставим все это в нашу систему (49) и соберем все члены в одну часть:

Эти равенства будут наверно удовлетворены, если мы приравняем выражения, стоящие в квадратных скобках, произвольным

постоянным, так как при этом под знаком суммы вычетов мы будем иметь функции вида , которые не имеют вовсе особых точек на конечном расстоянии. Обозначая упомянутые произвольные постоянные через получим для определения функций систему обыкновенных алгебраических уравнений первой степени

Будем решать эту систему по формулам Крамера

где

и получается заменой в определителе элементов столбца свободными членами Заметим, что определитель представляет собою левую часть известного нам векового уравнения Остается теперь подставить выражения (53) в формулу (50).

Произведя указанные подстановки, найдем решение нашей системы в виде

где значения объяснены выше.

Покажем теперь, что полученное нами решение удовлетворяет начальным условиям

Проверим это лишь для . Имеем

Знаменатель написанной дроби определяется по формуле (54) и представляет собою, очевидно, полином степени со старшим

членом . Числитель дроби, входящей в формулу (57), будет иметь вид

Раскрывая по элементам первого столбца, нетрудно убедиться, что это будет полином степени со старшим членом и, таким образом, можно переписать формулу (57) в виде

где точками мы обозначили члены полиномов низшей степени, которые в дальнейших вычислениях никакой роли играть не будут.

Установим теперь некоторое общее предложение, касающееся суммы вычетов рациональной дроби.

Лемма. Сумма вычетов рациональной дроби относительно ее полюсов, лежащих на конечном расстоянии, равна коэффициенту при в разложении рациональной дроби в окрестности бесконечно далекой точки.

Действительно, положим, что наша рациональная дробь имеет в окрестности бесконечно далекой точки разложение вида

Рассмотрим интеграл

где — окружность с центром в начале и радиусом R. При достаточно большом R все полюсы будут находиться внутри и интеграл будет давать сумму вычетов в этих полюсах. С другой стороны, при достаточно больших R окружность будет находиться в окрестности бесконечно далекой точки, и мы можем для вычисления интеграла применить разложение (59), откуда будет непосредственно следовать, что величина этого интеграла равна что и доказывает лемму.

Замечание. Выше [17] мы назвали коэффициент в разложении (59) с обратным знаком вычетом функции в бесконечно далекой точке, т. е. этот вычет считаем равным Поэтому нашу лемму можно формулировать следующим образом: сумма вычетов рациональной дроби во всех ее полюсах, включая и бесконечно далекую точку, равна нулю.

Применим теперь доказанную лемму к выражению (58). Заметим, что в окрестности бесконечно далекой точки мы имеем очевидное для написанной дроби разложение вида

и доказанная лемма дает нам непосредственно точно так же можно показать, что Итак, решение, даваемое формулой (55), удовлетворяет начальным условиям (56), т. е. произвольные постоянные входящие в полиномы , играют роль начальных условий. Отсюда непосредственно следует, что наши формулы (55) дают общий интеграл системы.

Пример. Рассмотрим систему

В данном случае

или

и для первой из искомых функций получим формулу

или, разлагая определитель и сокращая на

Знаменатель имеет корни Определяя вычеты в этих точках по обычному правилу: числитель на производную от знаменателя, получим

Заметим, что в данном случае полином имеет двойной корень и все же в выражении множитель при представляет собою не полином первой степени от t, но просто постоянную.

В случае системы неоднородных уравнений (вынужденные колебания)

где заданные функции от t, надо искать решение в виде

где - алгебраические дополнения элементов определителя искомые функции t (метод вариации произвольных постоянных) [II, 26]. Подставляя (61) в (60) и принимая во внимание, что при произвольных постоянных формулы (61) дают решение однородной системы, получим уравнения для производных

Покажем, что мы можем удовлетворить этой системе, полагая

Действительно, подставляя, получим в левой части (62)

Если , то при образовании алгебраического дополнения будут вычеркнуты два элемента стоящие на главной диагонали определителя , и, следовательно, будет полиномом степени от z. В силу доказанной выше леммы

ибо разложение в окрестности бесконечности начнется с члена и, следовательно, не будет содержать члена с

Алгебраическое дополнение будет полиномом степени со старшим коэффициентом (см. выше) и, следовательно,

Из этого непосредственно следует, что предыдущие выражения (64) равны . Формулы для дают

причем мы выбираем постоянную интегрирования так, чтобы (чисто вынужденные колебания).

Подставляя в (61), получаем окончательно