122. Системы линейных дифференциальных уравнений.

До сих пор мы рассматривали одно линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Оно является частным случаем системы двух линейных уравнений первого порядка. Вообще одно линейное уравнение порядка может быть представлено, если принять производные за новые искомые функции, в виде системы линейных уравнений первого порядка. Мы обратимся к рассмотрению общего случая системы линейных уравнений первого порядка вида

где — искомые функции, их производные и - таблица заданных коэффициентов, причем, в отличие от прежних обозначений [96], мы считаем, что первый значок показывает, при каком из неизвестных стоит коэффициент, а второй значок показывает, в каком из уравнений этот коэффициент находится. К написанной системе применим дословно метод последовательных приближений, описанный нами в [98], и, следовательно, применимы и все те следствия, которые мы там имели в результате применения этого метода. Напомним эти следствия. Если все коэффициенты регулярны в некотором круге то система (301) имеет единственное решение, удовлетворяющее в точке любым заданным начальным условиям:

и это решение будет регулярно в упомянутом круге Такое решение можно аналитически продолжать по любому пути, не проходящему через особые точки коэффициентов и при этом продолжении оно все время остается решением.

Решение системы состоит из функций. Положим, что мы имеем решений системы. Эти решения образуют квадратную таблицу функций

причем первый значок дает номер решения, а второй значок — номер функции, входящей в решение. Назовем теперь решением системы квадратную таблицу указанного вида, состоящую из решений, обозначим через Р таблицу, состоящую из коэффициентов и через У таблицу, определяющую решение. Пользуясь правилом перемножения матриц, можно записать систему линейных уравнений совершенно так же, как это мы делали в [96], в следующем виде:

Заметим только, что в данном случае мы применили иное обозначение для значков, чем в [96], а потому получили и другую последовательность сомножителей в правой части формулы (302). Обозначая, как всегда, через D(А) определитель матрицы А, мы можем вывести следующее уравнение для определителя решения :

где b есть некоторая обыкновенная точка для системы, т. е. такая точка, в которой все коэффициенты регулярны. Формула (303), называемая обычно формулой Якоби, является обобщением той формулы, которую мы раньше имели для определителя Вронского.

Принимая во внимание основное определение определителя в виде суммы произведения его элементов, мы можем утверждать, что при дифференцировании определителя достаточно продифференцировать в отдельности каждый его столбец и затем сложить все полученные определители, т. е.

причем для простоты письма мы считаем Заменяя производные их выражениями из уравнений системы, будем иметь

Разлагая определители на сумму определителей и вынося за знак определителя мы замечаем, что b некоторых слагаемых будут стоять определители с одинаковыми столбцами, равные нулю, так что предыдущая формула даст нам

или

откуда и вытекает формула Якоби. Эта формула показывает, что если в некоторой точке определитель отличен от нуля, то он будет отличным от нуля и при всяком который является обыкновенной точкой для системы, т. е. точкой регулярности всех коэффициентов этой системы. Если это обстоятельство имеет место, то назовем решение У полным решением (соответствующие решений, образующих решение У, будут в этом случае линейно независимыми). Если это так, то мы можем рассматривать и обратную матрицу причем, как известно [96],

откуда в силу (302) эта обратная матрица удовлетворяет следующей системе:

Пусть Z — какое-нибудь решение нашей системы, т. е.

Составим матрицу

Отсюда, пользуясь обычным правилом дифференцирования произведения [96], а также уравнениями (305) и (304), получим

т. е. матрица А есть некоторая постоянная матрица С, элементы которой уже не зависят от Отсюда

или, иначе говоря, всякое решение системы может быть получено из полного решения умножением слева на постоянную матрицу. Наоборот из вида уравнения (302) непосредственно вытекает, что, умножая решение слева на любую постоянную матрицу, мы таюке получаем решение. Принимая во внимание, что

мы видим, что в том и только в том случае, если , т. е., умножая полное решение У слева на постоянную матрицу С, мы получаем полное решение в том и только в том случае, когда Из формулы (303) следует, между прочим, что при аналитическом продолжении полного решения У оно все время остается полным решением, как мы об этом уже говорили выше при определении полного решения. Заметим, что при той форме записи, которой мы пользовались раньше [96], мы должны были решение умножать на постоянную матрицу не слева, а справа, чтобы получить другое решение.

Положим, что есть точка плоскости, которая является полюсом или существенно особой точкой для коэффициентов Если мы обойдем вокруг этой точки, то коэффициенты вернутся к прежним значениям, но решение У при аналитическом продолженный перейдет, вообще говоря, в некоторое новое решение, которое получается из прежнего умножением слева на некоторую постоянную матрицу V:

Назовем матрицу V интегральной матрицей при обходе точки . Принимая во внимание, что

и что при аналитическом продолжении полное решение все время остается полным, мы можем утверждать, что определитель матрицы V наверно отличен от нуля. Матрица V зависит от того, какое именно полное решение У мы взяли. Если вместо У мы возьмем другое полное решение , где С — постоянная матрица с определителем, отличным от нуля, то мы будем иметь

т. е. интегральной матрицей для нового решения будет матрица, подобная матрице V. Короче говоря, различные полные решения имеют подобные интегральные матрицы.