20. Особые точки аналитических функций и римановы поверхности.

В предыдущем пункте мы разобрали ряд примеров многозначных функций и построили соответствующие им римановы поверхности, на которых они однозначны. Рассмотрим соответствующие вопросы в общем случае. Мы не будем при этом за недостатком места входить в детали и ограничимся общими указаниями. Предварительно» выясним понятие об изолированной особой точке при аналитическом продолжении.

Рис. 18.

Пусть в точке задан начальный элемент аналитической функции который мы затем продолжаем вдоль линии . Положим, что аналитическое продолжение возможно до точки исключительно, но не дальше, так что точка является особой точкой при аналитическом продолжении вдоль I [18]. Пусть существует круг К с центром такой, что элементы функции соответствующие точкам участка линии I (рис. 18), лежащего внутри К, можно аналитически продолжать вдоль любой линии, лежащей внутри К и не проходящей через точку . В этом случае точка называется изолированной особой точкой f(z) (соответствующей пути l). Упомянутое аналитическое продолжение по всевозможным линиям внутри К может привести к однозначной или многозначной функции внутри К. В первом случае полученная однозначная внутри К функция будет регулярной везде внутри кроме будет разлагаться в ряд Лорана по целым степеням (z — b), и точка будет или полюсом или существенно особой точкой нашей аналитической функции f(z) (при аналитическом продолжении вдоль l). Во втором случае, при многозначности получаемой внутри К функции, точка называется точкой разветвления.

Положим, что при всевозможных аналитических продолжениях внутри К мы получаем в некоторой точке внутри К конечное число различных элементов. Обозначим это число через . Нетрудно видеть, что в любой другой точке , принадлежащей , мы получим тоже различных элементов. Это непосредственно следует из того, что при аналитическом продолжении из а в или из в а различных исходных элементов по одному и тому же пути в конечной точке получаются различные элементы. В рассматриваемом случае точка z = b называется точкой разветвления порядка (). Если число различных элементов, получаемых при аналитическом продолжении внутри К, в каждой точке К не конечно, то z = b называется точкой разветвления бесконечного порядка.

Рассмотрим подробнее случай точки разветвления конечного порядка (). По условию аналитическое продолжение внутри К выполнимо, исключая точку z = b. Такой круг К с исключенной точкой z = b есть двусвязная область. Возьмем экземпляров круга К и разрежем каждый из этих экземпляров вдоль одного и того же радиуса. Такой разрезанный вдоль радиуса круг будет односвязной областью. Возьмем внутри каждого экземпляра одну и ту же точку . Мы имеем в этой точке элементов нашей аналитической функции. Возьмем в каждом экземпляре в точке z = а определенный элемент и будем его аналитически продолжать внутри По теореме однозначности [18] получим в каждом экземпляре определенную однозначную функцию. Будем называть один из берегов разреза в каждом экземпляре левым, а другой — правым. Например, назовем правым берегом такой берег, что из его точек можно попасть на левый берег, двигаясь внутри и обходя z = b против часовой стрелки. Возьмем некоторый экземпляр круга с определенной на нём однозначной функцией. Назовем этот экземпляр первым, а определенную на нем однозначную функцию обозначим через . Значения на левом берегу разреза будут совпадать со значениями нашей функции на правом берегу разреза в некотором другом экземпляре . Назовем этот последний экземпляр вторым, а определенную на нем функцию обозначим через . Соединим мысленно левый берег первого экземпляра с правым берегом второго. Значения на левом берегу второго экземпляра будут совпадать со значениями нашей функции на правом берегу разреза в некотором другом экземпляре . Назовем этот экземпляр третьим, а определенную на нем функцию обозначим через . Соединим мысленно левый берег второго экземпляра с правым берегом третьего экземпляра. Продолжая так и дальше, дойдем до последнего экземпляра с номером . Нетрудно видеть, что значения на левом берегу этого -го экземпляра должны совпадать со значениями на правом берегу первого экземпляра. Соединим мысленно эти два берега.

Таким образом мы получим -листный круг L с точкой разветвления порядка . Эта точка считается совпадающей на всех экземплярах. На - листном круге наша функция будет однозначной и регулярной везде за исключением точки z = b. Введем вместо z новую независимую переменную

где причем фиксировано определенным образом в некоторой точке L. Точка z = b перейдет в Общее изменение аргумента на L при обходе равно а при обходе общее изменение аргумента будет Круг I, имеющий листов, перейдет на плоскости в однолистный круг С с центром и радиусом где R есть радиус L. В этом однолистном круге С наша функция будет однозначной и регулярной, кроме, может быть, точки Следовательно, она будет разлагаться внутри С в ряд Лорана:

или, если вернуться к прежней переменной:

т. е. в окрестности точки разветвления порядка функция разлагается по целым степеням аргумента (112). Можно произвольным, но определенным образом фиксировать значение аргумента (112) в некоторой точке z из окрестности точки . Могут представиться различные случаи в отношении разложения (113). Может случиться, что в этом разложении вовсе не будет членов с отрицательными значениями :

При этом, очевидно, при причем z может стремиться к b любым образом, оставаясь лишь в L. В рассматриваемом случае полагаем и назовем точкой разветвления регулярного типа. Если разложение (113) содержит лишь конечное число членов с отрицательными значениями , то при . В этом случае полагаем и называем точкой разветвления полярного типа. Если разложение (113) содержит бесчисленное множество членов с отрицательными значениями , то назовем точкой разветвления существенно особого типа.

Все предыдущие определения можно перенести и на бесконечно далекую точку. Положим, что совершается аналитическое продолжение вдоль контура l и существует такая окрестность бесконечно далекой точки (рис. 19), что элементы функции соответствующие точкам дуги принадлежащей можно аналитически продолжать по любому пути, лежащему внутри

Если это аналитическое продолжение дает однозначную функцию, то точка будет или регулярной точкой для или полюсом, или существенно особой точкой [10]. При многозначности упомянутого аналитического продолжения называют точкой разветвления. Если эта точка разветвления будет конечного порядка то в ее окрестности будет иметь место разложение

причем дословно можно повторить все, что сказано выше о таком разложении. Характер точки может зависеть, конечно, от того пути аналитического продолжения которым мы приходим в окрестность бесконечно далекой точки.

Рис. 19.

Выясним теперь в основных чертах понятие римановой поверхности для данной многозначной аналитической функции Положим, что при аналитическом продолжении исходного элемента мы пришли в некоторую точку Мы будем иметь в этой точке некоторый элемент, т. е. ряд, расположенный по целым положительным степеням (). Этот ряд может быть перестроен по целым положительным степеням (), где Р — любая точка из окрестности точки т. е. элемент в точке дает и элементы во всех точках, достаточно «близких к а. Каждому такому элементу мы сопоставляем точку являющуюся центром соответственного круга сходимости степенного ряда (элемента). Упомянутому элементу с центром мы сопоставляем именно эту точку а. Тем элементам, которые из него получаются в близких точках мы сопоставляем точки принадлежащие окрестности Совершая аналитическое продолжение, мы получаем все новые и новые элементы, а тем самым — все новые и новые точки z римановой поверхности. Если при возвращении в точку получится элемент функции, который уже имелся раньше, то мы отождествим ее с прежней точкой . Если же при аналитическом продолжении при возвращении в точку получим аналитический элемент (ряд, расположенный по целым неотрицательным степеням отличный от исходного, то полученная точка считается отличной от исходной.

Значения функции и ее нескольких последовательных производных могут и совпадать в этих точках z = а. Речь идет о различии ряда Тейлора, рассматриваемого в целом. Как мы указывали выше, можно совершать аналитическое продолжение через полюс и бесконечно далекую точку. На полученной таким образом римановой поверхности полученная аналитическим продолжением функция однозначна. К этой поверхности причисляют полюсы и точки разветвления конечного порядка регулярного или полярного типа. В этих последних точках функция имеет определенное конечное или бесконечное значение.

Кратко говоря, аналитическое продолжение создает риманову поверхность. Полная полученная таким образом поверхность может состоять из бесчисленного множества листов. Заметим, что риманова поверхность аналитической функции , естественно, не всегда может быть получена путем преобразования плоскости w при помощи однозначной функции как это имело место в простейших примерах из [19].

Отметим, что мы лишь в самых общих чертах коснулись понятия римановой поверхности многозначной аналитической функции. Строгое изложение можно найти, например, в книгах: Н. Wеу 1, Die Idee der Riemannschen Flache; А. Гуpвиц, P. Курант, Теория функций, «Наука», 1968.

В заключение настоящего пункта обратим внимание на то, что при аналитическом продолжении особые точки могут быть и неизолированными. Например, может случиться, что исходный степенной ряд непродолжим, т. е. что всякая точка окружности его круга сходимости является особой точкой. Примером такого непродолжимого степенного ряда является ряд

радиус сходимости которого равен единице.