52. Волновое уравнение и аналитические функции.

Мы видели в томе II, что при распространении колебаний, как акустических, так электромагнитных, основное значение имеет уравнение

которое называется обычно волновым уравнением. Мы будем рассматривать сейчас лишь плоский случай, т. е. когда искомая функция и не зависит от одной из координат, например от координаты z. В этом случае волновое уравнение будет иметь вид

где — функция переменных t, х и у. Пользуясь аналитическими функциями комплексного переменного, мы можем выделить некоторый класс решений уравнения (173), имеющий важное применение в физике, причем пользование аналитическими функциями значительно упрощает все операции внутри этого класса решений.

Построим некоторое вспомогательное уравнение, которое играет основную роль во всем дальнейшем:

где некоторые аналитические функции комплексного переменного . Уравнение (174) определяет как функцию переменных t, х и у. Положим теперь, что у нас имеется некоторая аналитическая функция которая в конечном счете является функцией переменных t, х и у. Выведем формулы для производных от этой функции. Обозначая через производную от левой части уравнения (174) по переменной и применяя обычные правила дифференцирования сложных и неявных функций, мы получим без труда следующие выражения для производных функции :

При вычислении производных второго порядка надо иметь в виду, что

зависит, например, от t как непосредственно, так и через посредство :

что может быть записано следующим образом:

Совершенно аналогично получается

Заданная аналитическая функция зависит от t, х и у через посредство и ее производные определяются по правилу дифференцирования сложных функций. Принимая во внимание предыдущие формулы, получим

что можно записать так:

и совершенно аналогично

Полагая и подставляя в (173), мы получим уравнение

откуда следует, что есть решение уравнения (173), если коэффициенты уравнения (174) удовлетворяют соотношению

Если хотим получить вещественное решение, то мы можем взять лишь вещественную часть которая в отдельности должна удовлетворять уравнению (173) так же, как и мнимая часть.

Введем в рассмотрение трехмерное пространство (S) с координатами Если в некоторой области В этого пространства уравнение (174) дает для вещественные значения, то в предыдущих рассуждениях не надо даже считать функцию аналитической функцией, так как ее аргумент принимает лишь вещественные значения. Достаточно предположить, что есть произвольная функция вещественного переменного, имеющая непрерывные производные до второго порядка.

Предыдущие рассуждения приводят к следующей теореме, которая определяет класс решений уравнения (173), о котором мы говорили выше.