80. Примеры.

I. В качестве примера применения формулы (209) получим формулу Стирлинга для гамма-функции . В интеграле Эйлера для функции :

перейдем к новой переменной

или

Мы получили интеграл вида (204), в котором

Функция имеет седловую точку Очевидно, в точке достигает максимального значения, равного и монотонно убывает при удалении от точки максимума в обе стороны. Поскольку интеграл (210) сходится при всяком , у которого и вне интервала выполняется неравенство

мы можем применить формулу (209). Выполняя необходимые вычисления, получаем

2. Рассмотрим интеграл вида

где седловая точка f(z) и а — числовой параметр. Функции мы будем по-прежнему считать регулярными в некотором круге При малых значениях подинтегральная функция имеет полюс первого порядка а вблизи седловой точки.

При выводе асимптотической формулы для интеграла (204) использовался тот факт, что функция и ее производные ограничены в окрестности седловой точки . В рассматриваемом интеграле (212) подинтегральное выражение стремится к бесконечности при Мы выведем асимптотическую формулу для , а при справедливую не только при фиксированном но и при а причем остаточный член будет мал при равномерно по а.

Мы рассмотрим ниже частный случай, когда следовательно, и ограничимся выводом только главного члена асимптотического разложения. Мы будем, далее, считать, что при а имеют место неравенства

или

где фиксирован определенным образом, как и в [78]. Из указанных неравенств следует, что полюс подинтегральной функции не может приближаться к точке по направлению, касательному к контуру скорейшего спуска, касательная к которому в точке имеет направление будем предполагать также, что на участках контур L, расположенных вне круга выполняется неравенство

и что часть контура L, принадлежащая этому кругу, совпадает с линией наибыстрейшего убывания функции и идет из отрицательного сектора с номером в отрицательный сектор номером . Как и в предыдущем пункте можно показать, что

Поэтому главным участком контура интегрирования будет по-прежнему участок контура интегрирования проходящий через седловую точку. В интеграле

перейдем к новой переменной положив, как и в

При выбранной ветви квадратного корня интегрированию по контуру будет соответствовать интегрирование по отрезку вещественной оси плоскости Обращая степенной ряд в равенстве (216), получим

где

В новой переменной интегрирования интеграл (215) запишется в виде

На плоскости комплексного переменного подинтегральная функция будет при достаточно малых иметь полюс первого порядка в точке

Выделяя полярность, представим множитель, стоящий при экспоненте в интеграле (217), в виде

где - регулярная функция в некоторой окрестности точки . Асимптотическое разложение интеграла

строится прежним образом, и согласно формуле (209)

В интеграле

заменим пределы интегрирования на . Такое расширение промежутка интегрирования, очевидно, изменит интеграл на величину порядка , где . Таким образом,

Принимая во внимание также формулу (219), для исходного интеграла получаем

где

Интеграл

сводится к интегралу вероятностей от комплексного аргумента. Положим , тогда

где Интеграл (222) протабулирован (В. Н. Фаддеева и Н. М. Терентьев, Таблицы значений интеграла вероятностей от комплексного аргумента, Гостехиздат, 1954).

Пусть , тогда будет также стремиться к нулю. Покажем, что в этом случае с точностью до слагаемых порядка величина С в интеграле (222) может быть заменена первым членом разложения по степеням а, т. е. величиной .

Оценим разность

Объединяя интегралы, получим

Мы имеем, далее,

где

и при малых а величина удовлетворяет неравенству

В силу нашего предположения (213) справедливо также неравенство

Используя неравенства (223) и (224), последовательно получаем

так как

при достаточно малых .

Оценка (225) позволяет утверждать, что действительно

Таким образом, в рассматриваемом случае

где