134. Разложение по сферическим функциям.

Всякая функция, определенная на поверхности сферы любого радиуса, является функцией географических координат 0 и на этой сфере, так что мы можем ее обозначить в виде . Положим, что она разлагается по сферическим функциям, т. е. может быть представлена на сфере в виде ряда, аналогичного ряду Фурье:

Пользуясь ортогональностью сферических функций, а также формулами (25), мы, как и в ряде Фурье, получим следующие выражения для коэффициентов ряда:

Строго говоря, такое рассуждение является только некоторым предварительным соображением при определении коэффициентов ряда (50). Мы должны затем подставить значения коэффициентов, полученные по формулам (51), в ряд (50) и доказать, что при некоторых предположениях относительно функции этот ряд будет сходящимся, и его сумма будет равна . В следующем параграфе мы проведем такое доказательство.

Выясним предварительно некоторые соотношения интегрального вида, которым должны удовлетворять сферические функции. Пусть — поверхность сферы радиуса R и некоторая сферическая функция порядка п. Функция

будет гармонической, и мы можем применить к ней известную формулу Грина [II, 193]:

где d — расстояние переменной точки сферы до точки , находящейся внутри сферы, элемент площади поверхности сферы и v — направление внешней нормали к сфере так что в данном случае Мы имеем, очевидно,

и, далее, в силу (36),

так что

и

В этих формулах есть угол, образованный радиусами-векторами ОМ и . Подставляя всё это в формулу (52), получим, считая радиус R равным единице:

где через и мы обозначили географические координаты переменной точки М единичной сферы. Написанные ряды сходятся равномерно относительно и так как и полиномы Лежандра удовлетворяют неравенству (46). Производя почленное интегрирование рядов, будем иметь

Из этой формулы непосредственно вытекает, что все слагаемые суммы должны обратиться в нуль, кроме слагаемого, соответствующего что и дает нам следующие интегральные формулы, имеющие важное применение в приложениях сферических функций:

Выведем теперь формулу, выражающую через тригонометрические функции . Проведем для этого два радиуса единичной сферы, концы которых имеют географические координаты Проекции этих радиусов на координатные будут, очевидно,

и косинус угла, образованного этими двумя радиусами, будет выражаться суммой произведений этих проекций, т. е. получаем для следующую формулу:

Вернемся вновь к ряду (50). Если этот ряд равномерно сходится и его сумма равна то для его коэффициентов мы получаем формулы (51) так же, как и в теории тригонометрических рядов. Объединим теперь в сумме (50) в одно слагаемое те члены ряда, которые представляют собою сферическую функцию заданного порядка , т. е. положим

Заменяя в этом разложении на умножая на и интегрируя по переменным будем иметь, согласно (53) и (54), следующую формулу для членов ряда (56):

Эта формула дает сумму тех членов ряда (50), которые стоят под знаком суммирования по и относятся к заданному значению .

Подставляя значения коэффициентов (51) в отдельное слагаемое суммы (50), получим

или

Сравнение формул (57) и (58) дает нам

Строго говоря, мы вывели эту формулу лишь в предположении, что есть сумма равномерно сходящегося ряда (50). В частности, она будет наверно справедливой, если ряд (50) приведется к конечной сумме. Заметим, что угол есть одна из географических координат (широта), если за полюс взять точку с географическими координатами Таким образом, есть однородный гармонический полином степени и, следовательно, является некоторой сферической функцией порядка переменных Мы видим, что квадратная скобка в формуле (59) есть конечная сумма сферических функций, и, следовательно, можно в частности считать, что равна этой конечной сумме сферических функций. Таким образом, получаем при таком выборе функции, что интеграл от квадрата упомянутой выше квадратной скобки равен нулю, а потому и всё выражение, стоящее в квадратных скобках, должно равняться нулю:

Эта формула называется обычно теоремой сложения для полиномов Лежандра.