131. Явные выражения сферических функций.

Мы установим теперь явные выражения для тех однородных полиномов, о которых мы говорили в предыдущем параграфе. Введем сферические координаты

При этом однородный гармонический полином степени представится в виде

Такой полином, являющийся решением уравнения (1), называется обычно объемной сферической функцией, а множитель который будет, очевидно, полиномом от , называется поверхностной сферической функцией, или просто сферической функцией порядка п. Нашей задачей и является нахождение линейно независимых сферических функций.

Предварительно отметим один простой факт, связанный с решением уравнения (1). Напишем следующий интеграл, зависящий от параметров х, у и z:

причем мы предполагаем, что написанный интеграл можно дифференцировать под знаком интеграла по х, у и z. Произведя дифференцирование, мы убедимся без труда, что функция удовлетворяет уравнению (1) при любом выборе функции лишь бы было законно указанное дифференцирование. Действительно,

где через мы обозначили вторую производную от по первому аргументу. Отметим, что этот аргумент является комплексной величиной. Теперь уже нетрудно, пользуясь формулой (6), построить однородных полиномов степени , удовлетворяющих уравнению (1).

Напишем их в следующем виде:

Вводя сферические координаты, получим, пользуясь интегралом (7), следующие выражения для сферических функций:

Принимая во внимание, что подинтегральная функция имеет период по можем брать любой промежуток интегрирования длины Таким образом, последний интеграл переписывается в виде

Раскрывая и принимая во внимание нечетность функции , можем переписать эту сферическую функцию в виде

Совершенно так же интеграл (8) приведет нас к следующим сферическим функциям:

Линейная независимость всех функций (9) и (10) непосредственно следует из того, что зависимость этих функций от содержится в множителях и что не может существовать линейной зависимости между этими последними функциями, поскольку они ортогональны между собой на промежутке [II, 142]. Таким образом, мы построили все сферических функций порядка Коэффициенты при в выражениях (9) и (10) суть одни и те же функции от 0. Мы их выразим через полиномы Лежандра.

Мы имели следующие выражения для полиномов Лежандра [105]:

Введем еще функции которые выражаются через полиномы Лежандра следующим образом:

При нечетном множитель определен лишь с точностью до знака. В дальнейшем мы будем рассматривать из промежутка и будем полагать где При этом мы будем считать для определенности в выражении множитель равным т. е. неотрицательным, ибо

Введем теперь другие выражения для . Согласно формуле Коши можем написать

где С — любой замкнутый контур, внутри которого находится точка причем этот контур обходится против часовой стрелки. Отсюда в силу (11) получаем

Возьмем в качестве контура С окружность с центром и радиусом (считается, что ). При этом переменная интегрирования z запишется в виде

где выбор значения безразличен, и можно считать, что меняется от до Совершая в интеграле (13) замену переменных, получим

Производя элементарные вычисления и принимая во внимание четность подинтегральной функции, получим

Если мы в правой части разложим по формуле бинома Ньютона, то, принимая во внимание, что интеграл от нечетной степени по промежутку равен пулю, мы видим, что все члены с нечетными степенями в правой части пропадут.

Проведем аналогичные вычисления для Вместо (13) имеем

Будем для определенности считать, что . Совершая прежнюю замену переменных и считая в формуле выражение положительно мнимым, т. е. вида где , получим

или, принимая во внимание нечетность

Если мы в интеграле (14) или (15) положим то получим интегралы, входящие в формулы (9) и (10). Принимая во внимание, что постоянный множитель при гармоническом полиноме или сферической функции не играет роли, мы приходим к следующему заключению: сферических функций порядка могут быть написаны в виде

где суть полиномы Лежандра, определяемые формулой (11), определяются по формулам (12). Напомним, что множитель при подстановке считается равным . Умножая решения (16) на произвольные постоянные и складывая, получим общий вид сферической функции порядка :

Вместо тригонометрических функций мы можем, составляя линейные комбинации решений (16), брать показательные функции, так что вместо набора сферических функций (16) порядка мы можем взять следующий набор сферических функций порядка :

Согласно построению общий вид однородных полиномов степени от переменных , удовлетворяющих уравнению Лапласа, будет где определяется формулой (17).