17. Изолированные особые точки. Бесконечно далекая точка.

В [10] мы исследовали функции, однозначные и регулярные в окрестности некоторой точки, которую мы обозначим сейчас через кроме, может быть, самой этой точки, и установили три возможности: имеет предел при стремится к бесконечности при третья возможность может быть определена исключением первых двух. Напомним, что если в первом случае принять равным упомянутому пределу, то окажется регулярной и в точке

Если однозначна и регулярна в окрестности то она тем самым будет однозначной и регулярной в некотором кольце D с центром внутренним радиусом, равным нулю, и некоторым внешним радиусом R. В этом кольце разлагается в ряд Лорана по целым степеням (z — b). Покажем, что указанным трем возможностям соответствуют следующие возможности при представлении рядом Лорана: 1) этот ряд не содержит отрицательных степеней (z - b); 2) ряд содержит конечное число членов с отрицательными степенями (z — b); 3) ряд содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями

Если ряд Лорана не содержит отрицательных степеней, т. е. имеет вид

то при z -> b (непрерывность степенного ряда), т. е. мы имеем первый случай из [10]. Наоборот, если мы имеем первый случай из классификации [10], то регулярна, включая и должна разлагаться в некотором круге в ряд Тейлора без отрицательных степеней.

Перейдем к рассмотрению второго случая, когда ряд Лорана в кольце D имеет вид

причем коэффициент можно считать отличным от нуля. Мы можем переписать формулу (88) в виде

При стремлении z к b множитель, стоящий перед квадратной скобкой, стремится к бесконечности, а вся квадратная скобка стремится к пределу конечному и отличному от нуля (сумма степенного ряда есть непрерывная функция), и, следовательно, все произведение стремится к бесконечности.

Таким образом, во втором из указанных выше случаев точка будет полюсом функции по нашей прежней терминологии [10]. Введем некоторую терминологию, которой обычно пользуются: при наличии разложения (88) точка называется полюсом порядка сумма членов с отрицательными степенями

называется бесконечной частью, соответствующей этому полюсу. Коэффициент стоящий при называется вычетом функции ) в полюсе

Покажем теперь, что разложение вида (88) будет иметь место всегда, если есть полюс функции согласно определению из [10]. Итак, пусть однозначна и регулярна в окрестности и стремится к бесконечности при Покажем, что имеет место разложение вида (88). Рассмотрим функцию

Поскольку регулярна в окрестности при то можно утверждать, что регулярна в окрестности точки и стремится к нулю при . Следовательно, регулярна и в самой точке причем обращается в этой точке в нуль. Напишем ее разложение в ряд Тейлора; в нем наверняка будет отсутствовать свободный член. Предположим, что первый из членов, отличных от нуля, будет содержать , т. е.

Для функции будем иметь отсюда формулу

Знаменатель второй из написанных дробей отличен от нуля при и, следовательно, эта дробь разлагается в ряд Тейлора по положительным степеням (z — b). Деля этот ряд Тейлора на мы получим для как раз разложение вида (88). Сопоставляя этот последний результат с предыдущим, мы можем утверждать, что понятие полюса, введенное нами в [10], равносильно понятию такой особой точке, вблизи которой функция разлагается в ряд Лорана с конечным числом членов с отрицательными степенями (z — b). Следовательно, существенно особой точкой будет такая точка, вблизи которой разложение функции в ряд Лорана содержит бесчисленное множество членов с отрицательными степенями .

Здесь, как и в случае полюса, коэффициент при называется вычетом в существенно особой точке .

Отметим, что в разложении должен обязательно встретиться коэффициент отличный от нуля, ибо в противном случае была бы равна тождественно нулю в некотором круге с центром а это противоречит равенству где по условию регулярна в окрестности

Введем один «несобственный» элемент плоскости — бесконечно далекую точку плоскости [III, 62]. Окрестностью бесконечно далекой точки назовем часть плоскости, лежащую вне какой-либо замкнутой кривой на плоскости. Всякая такая окрестность содержит в себе часть плоскости, лежащую вне круга с любым центром b и достаточно большим радиусом R, т. е. часть плоскости, координаты которой удовлетворяют неравенству . В дальнейшем мы будем главным образом пользоваться окрестностями бесконечно далекой точки, определяемыми неравенством . Плоскость с присоединенной к ней бесконечно далекой точкой называется обычно расширенной плоскостью. Бесконечно далекую точку обозначают символом . Пусть однозначна и регулярна в окрестности бесконечно далекой точки. Мы можем рассматривать эту окрестность как круговое кольцо с центром некоторым внутренним радиусом и внешним радиусом, равным бесконечности. В этом кольце f(z) разлагается в ряд Лорана

Если вместо z ввести новое комплексное переменное окрестность точки перейдет в окрестность

точки и ряд (89) примет вид

Как и выше, могут представиться три случая. В качестве первого возьмем тот, когда ряд (89) не содержит членов с положительными степенями

или

откуда следует, что при 0, т. е. при

В этом случае говорят, что регулярна в точке причем полагают

Если разложение (90) начинается с члена, содержащего где целое, то называется корнем кратности т. В этом случае

Если разложение (89) содержит конечное число членов с положительными степенями

то, вынося за скобки убедимся в том, что стремится к бесконечности при причем частное при

В этом случае точка называется полюсом порядка , а сумма называется бесконечной частью в этом полюсе. При этом полагают . Наконец, если разложение (89) содержит бесконечно много членов с положительными степенями z, то называется существенно особой точкой При переходе к переменной t мы получим существенно особую точку Отсюда и из [10] непосредственно следует, что если есть существенно особая точка то в области где сколь угодно большое число, есть значения сколь угодно близкие к любому наперед заданному комплексному числу. Во всех указанных трех случаях вычетом в точке называется коэффициент при с обратным знаком, т. е. Смысл такого определения будет выяснен нами позже.

Из сказанного выше следует, что мы можем говорить об определенном значении в полюсе z = b, а именно преобразует точку в точку Если точка есть регулярная точка, то (см. выше), а если есть полюс , то . В первом случае точка переходит в а во втором преобразует точку в себя, т. е. оставляет ее на месте.

Отметим еще, что если a — любое комплексное число, то окрестность точки , где однозначна и регулярна, содержит области где R — достаточно большое число. Таким образом, вместо ряда (89) мы могли бы написать ряд Лорана для по целым степеням :

и получили бы тот же характер особенности при и те же значения в случае, если регулярная точка или полюс

Если в случае регулярности точки мы продиф ференцируем почленно ряд (90) по z, что сводится к дифференцированию ряда (91) по t с последующим умножением на то получим

откуда следует, что если есть регулярная точка . Очевидно, что и производные любого порядка . Отметим, что выше мы всегда считали, что в исходных рядах Тейлора и Лорана не все коэффициенты равны нулю, т. е. что рассматриваемая функция не равна нулю тождественно в соответствующем круге или кольце.

Возвращаясь к видим, что условие применимости формулы Коши для области, содержащей бесконечно далекую точку формулируемое в виде:

сводится к тому, что регулярна в бесконечно далекой точке и в разложении

Пример I. Относительно функции мы говорили раньше, что она регулярна на. всей плоскости. При этом мы исключали бесконечно далекую точку. Разложение этой функции годится везде и, в частности, в окрестности бесконечно далекой точки. Оно содержит бесчисленное множество членов с положительными степенями z, и, следовательно, бесконечно далекая точка будет существенно особой точкой для То же самое можно сказать, например, относительно

Пример II. Всякий полином будет регулярной функцией на всей плоскости и будет, очевидно, иметь на бесконечности полюс, порядок которого равен степени полинома.

Рассмотрим рациональную функцию, т. е. частное двух полиномов:

причем будем считать дробь несократимой, т. е. корни числителя и знаменателя различными. Наша функция будет иметь на конечном расстоянии особыми точками корни полинома и эти точки будут полюсами функций. Поведение функции в бесконечно далекой точке будет зависеть от степеней полиномов, стоящих в числителе и знаменателе. Если степень выше степени на единиц, то будет стремиться к бесконечности при но отношение будет стремиться к конечному пределу, отличному от нуля.

т. е. наша функция будет иметь на бесконечности полюс порядка т. Если же степень не выше степени то функция будет регулярной на бесконечности.