148. Формула Фурье — Бесселя.

Для произвольных функций, определенных в промежутке ) и удовлетворяющих там некоторому дополнительному условию, существует интегральное представление, аналогичное интегралу Фурье, но содержащее вместо тригонометрических функций функцию Бесселя, а именно: если непрерывна в промежутке ) и удовлетворяет условиям Дирихле [II, 155] во всяком конечном промежутке и, кроме того, существует интеграл

то имеет место при любом целом и при следующая формула:

Приведем формальный вывод соотношения (46), не останавливаясь на некоторых деталях доказательства. Будем считать радиусом-вектором, введем полярные координаты и применим к функции

формулу Фурье [II, 173], переставляя порядок внутренних интегралов:

Введем теперь вместо переменных полярные координаты

Пользуясь (47), можем написать

Введя вместо новую переменную интегрирования Р по формуле

получим

Принимая во внимание периодичность тригонометрических функций, можем привести промежуток интегрирования к прежнему промежутку . Точно так же, вводя вместо а новую переменную а по формуле

получим

откуда, принимая во внимание формулу (42), будем иметь формулу (46).

В случае функции, заданной в конечном промежутке , вместо формулы (46) можно рассматривать разложение в ряд, аналогичный ряду Фурье, по ортогональным функциям, о которых мы говорили в предыдущем параграфе.

Заметим, что формулу (46) можно доказать и для любых вещественных значков больших а также при меньших предположениях относительно функции

Функции Ханкеля и Неймана. Мы определили выше [111] два решения уравнения Бесселя

следующими формулами:

В этих формулах подинтегральная функция определена однозначным образом на плоскости комплексной переменной с разрезами, проведенными из точек параллельно мнимой оси на , а именно — в первой из формул мы считаем при и во второй формуле мы считаем при . Переходя с отрезка ) вещественной оси на отрезок по нижней полуплоскости, минуя разрезы, мы совершаем полуобход в отрицательном направлении относительно точек и, таким образом, аргумент выражения получает приращение т. е., иными словами, во второй из формул (49) мы должны считать при . Формулы (49) определяют функции Ханкеля для значений z, лежащих справа от мнимой оси, т. е. имеющих вещественную часть больше нуля. Заметим, кроме того, подинтегральная функция в интегралах (49) при фиксированном значении z является целой функцией параметра и, принимая во внимание быстрое затухание подинтегральной функции на бесконечности, мы можем утверждать, что и функции Ханкеля при фиксированном z являются целыми функциями параметра . Из асимптотических выражений функций Ханкеля [111] непосредственно вытекает, что эти функции представляют собою два линейно независимых решения уравнения Бесселя. Мы видели также, что функция Бесселя является полусуммой функций Ханкеля

Можно провести тесную аналогию между уравнением Бесселя (48) и уравнением

определяющим обычные тригонометрические функции . При этом функции Ханкеля являются аналогами его решений , а функции Бесселя являются аналогом решения уравнения (51). Введем теперь еще решение уравнения (48), равное разности функций Хенкеля, деленной на

Это решение, называемое обычно функцией Неймана, будет аналогом решения уравнения (51). Из формул (50) и (52) непосредственно получаем следующие выражения функций Ханкеля через функции Бесселя и Неймана:

Отсюда видно сразу, что функции определяют два линейно независимых решения уравнения (48).

Для функций Ханкеля мы имели следующие асимптотические представления:

которые были нами доказаны при Пользуясь формулой (50), можно, как было уже указано раньше [114], получить асимптотическое представление функций Бесселя

и точно так же, пользуясь формулой (52), мы получаем асимптотическое представление функций Неймана при 0:

Во всех написанных формулах надо считать и радикал брать положительным.

Выведем теперь формулу, выражающую функцию Неймана через функции Бесселя. Сначала рассмотрим тот случай, когда значок отличен от целого числа. В этом случае, как мы знаем, уравнение (48) имеет два линейно независимых решения Второе из этих решений должно выражаться линейно через решения которые, как было выше указано, тоже являются линейнонезависимыми решениями, т. е. мы должны иметь формулу вида

где постоянные коэффициенты, которые мы сейчас и определим. Принимая во внимание асимптотические выражения (55) и (56), можно написать

Заметим, что произведение постоянной или вообще ограниченной функции на величину порядка у дает также величину порядка Мы получаем, таким образом,

Отсюда можно вывести значение постоянных, сравнивая главные члены в написанных разложениях. Действительно, положим

где новые искомые постоянные. Подставляя в формулу (58), получим

или

т. e. левая часть написанного равенства, являющаяся периодической функцией с периодом должна стремиться к нулю при Отсюда непосредственно следует, что мы должны иметь т. е.

Подставляя эти значения постоянных в формулу (57) и решая относительно придем к искомому выражению функции Неймана через функции Бесселя:

Функции Неймана, как и функции Ханкеля, суть целые функции параметра . Формула (59) справедлива, если отлично от целого числа. Если равно целому числу, то знаменатель формулы (59) обращается в нуль. Но, очевидно, и числитель будет равен нулю, в силу соотношения (8). Таким образом, чтобы получить значение дроби (59) при целом мы должны будем просто раскрыть неопределенность, заменяя числитель и знаменатель их производными по параметру и полагая затем равным целому числу :

Получаем, таким образом, следующее выражение функции Неймана с целым значком:

Подставляя выражение (59) в формулы (53), получим формулы, выражающие функции Ханкеля через функции Бесселя для случая нецелого :

Из этого соотношения непосредственно вытекает следующая зависимость между функциями Ханкеля, значок которых отличается лишь знаком:

Строго говоря, эта формула доказана нами в предположении, что отлично от целого числа. Но левая и правая части формулы (62) суть целые функции от и, следовательно, формула справедлива при любом . Если есть целое число, то числитель и знаменатель формул (61) обращаются в нуль. Раскрывая неопределенность, как и выше, можем получить формулу и для целого

Рассмотрим, наконец, тот случай, когда значок имеет вид где — целое положительное число или нуль. Если мы подставим такое значение в формулы (49), определяющие функции Ханкеля, то под знаком интеграла будем иметь функцию, регулярную на всей плоскости, включая точки и, следовательно, интегралы обратятся в нуль. Но при этом множитель Г обратится в бесконечность, и формулы (49) потеряют смысл. Вместо этих формул обратимся к разложениям из [114]. Вообще говоря, эти разложения были расходящимися, но формально удовлетворяли уравнениям, как это мы показали раньше. В рассматриваемом случае они не только будут сходящимися, но просто превратятся в конечные суммы и дадут нам выражение функции Ханкеля в конечном виде. Рассмотрим, например, первую функцию Ханкеля со значком

или

Отсюда непосредственно видно, что все слагаемые, соответствующие , обратятся в нуль, и мы будем иметь следующее представление функции Ханкеля:

Точно так же для второй функции Ханкеля будем иметь конечное представление в виде

Формулы (59), (61) и (62) остаются справедливыми и для значков Заметим, что можно принять формулы (61) за определение функции Ханкеля при принимая во внимание (19) и (21), получим

или

так что окончательно можно написать

и совершенно аналогично

Отсюда можно получить, между прочим, и разложения (63) и (64). При пользуясь (61), а также выражениями

получаем

Для функций Ханкеля можно легко доказать ряд соотношений, аналогичных тем, которые мы имели выше для функций Бесселя. Приведем некоторые из них:

Заметим, что из определения следует, что вещественны, а суть мнимые сопряженные при вещественных z.