194. Определение структуры канонической формы.

Предварительно докажем две вспомогательные леммы.

Лемма 1. Если А и В суть две квадратные матрицы порядка их произведение, то всякий определитель матрицы С порядка t, где может быть представлен в виде суммы

произведений некоторых определителей порядка t матрицы А на определители порядка t матрицы В.

Эта лемма непосредственно следует из теоремы, доказанной в .

Следствие. Пусть элементы матрицы А (X) суть полиномы от X, а элементы матрицы В не содержат X, причем определитель этой матрицы В отличен от нуля. Обозначим через общий наибольший делитель всех определителей порядка входящих в состав матрицы и через обозначим такой же общий наибольший делитель для матрицы . Из доказанной леммы непосредственно следует, что должен содержаться в Но мы можем написать

и доказанная лемма дает нам совершенно так же, что должно заключаться в совпадают. То же самое мы получили бы, если бы вместо матрицы составили матрицу

Отсюда далее следует, что упомянутый общий наибольший делитель для матрицы и для подобной матрицы будет одним и тем же.

Выясним еще одно свойство общего наибольшего делителя . Для этого введем новое определение.

Определение. Назовем элементарным преобразованием матрицы элементы которой суть полиномы от X, преобразование этой матрицы при помощи конечного числа следующих трех операций:

1) перестановка двух строк (или столбцов);

2) умножение всех элементов некоторой строки (столбца) на одно и то же число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам некоторой строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число пли на один и тот же полином от X.

Если матрица получается из при помощи элементарного преобразования, то, очевидно, и наоборот, можно получить из при помощи элементарного преобразования. Две матрицы, которые получаются одна из другой при помощи элементарного преобразования, назовем эквивалентны

Лемма 2. Эквивалентные матрицы имеют одинаковые общие наибольшие делители .

Достаточно показать, что если все определители порядка t матрицы содержат общим множителем некоторый полином то такой же общий множитель будут содержать и все определители порядка t эквивалентной матрицы . Первое и второе из указанных выше трех преобразований добавляет к упомянутым определителям

порядка t численный множитель, отличный нуля, и для этих двух преобразований лемма очевидна. Остается показать, что и при третьем преобразовании общий множитель сохранится. Положим, например, что это преобразование состоит в прибавлении к элементам строки с номером соответствующих элементов строки с номером умноженных на полином . Все определители порядка не содержащие строки с номером или содержащие строки с номерами и q, не изменятся при указанном преобразовании в силу свойства определителя из Определители же порядка f, содержащие строку с номером , но не содержащие строки с номером после преобразования будут иметь вид: где — некоторые определители матрицы порядка t. Из сказанного непосредственно следует, что общий множитель определителей порядка t матрицы войдет действительно и во все определители порядка t матрицы .

Лемма 3. Всякую матрицу вида

порядка можно при помощи элементарных преобразований привести к диагональной матрице

Для случая лемма очевидна. Рассмотрим случай Переставляя строки, умножая затем элементы первого столбца на — и прибавляя полученные произведения к элементам второго столбца и проделывая то же для строк, мы будем иметь требуемый результат после вынесения из последнего столбца:

Для матриц третьего порядка мы имеем, совершая указанные только что преобразования:

Переставляя вторую и третью строки и совершая дальнейшие элементарные преобразования, мы будем иметь

и после вынесения (-1) из второго столбца получим Таким образом, постепенно мы можем доказать лемму для матриц любого порядка.

Переходим теперь к доказательству алгебраического критерия структуры канонической формы матрицы А, указанного в [III, 27]. Согласно следствию из леммы 1, мы можем свести разыскание общих наибольших делителей матрицы к разысканию общих наибольших делителей подобной матрицы:

Применяя лемму 3 к каждой из матриц, входящих в состав этой квазидиагональной матрицы, мы можем при разыскании общих наибольших делителей заменить матрицу (42) чисто диагональной матрицей, в которой вдоль главной диагонали стоит единиц, затем после этого единиц и затем и т.д. Заметим далее, что если при построении определителя некоторого порядка входящего в эту матрицу, мы вычеркиваем совокупность строк, не совпадающую с совокупностью вычеркиваемых столбцов, то в полученном определителе по крайней мере одна строка и столбец будут состоять из нулей, и этот определитель будет равен нулю. Таким образом, при построении определителей, входящих в полученную диагональную матрицу, нам надо всегда вычеркивать одинаковые строки и столбцы, что, проще говоря, сводится к вычеркиванию диагональных элементов, произведение которых и дает величину определителя.

Рассмотрим для определенности какой-нибудь один корень кратности к характеристического уравнения. В определитель порядка входит, очевидно, множитель . Положим, что общий наибольший делитель определителей порядка содержит лишь Это значит, что наибольшая степень бинома , входящего в построенную диагональную матрицу, равна т. е. в каноническом представлении нашей матрицы имеется матрица

. Точно так же дальше. Если общий наибольший делитель определителей порядка () равен (X — а), то это значит, что после наибольшая степень (X — а), входящая в построенную диагональную матрицу, равна (X — т. е. кроме (а) в каноническую форму входит матрица Если мы таким путем придем, наконец, к определителям некоторого порядка, из которых хоть один вовсе не содержит множителя (X — а), то мы исчерпаем таким образом все те составные части канонической формы А для которых Таким образом, упомянутый в [III, 27] алгебраический критерий структуры канонической формы матрицы нами доказан. Заметим, что из предыдущих рассуждений не только вытекает, что

где