91. Тождество Кейли. Формула Сильвестра.

Назовем полином со старшим коэффициентом, равным единице, аннулирующим полиномом матрицы X, если Из формул (61), (61), примененных к непосредственно следует, что обращение в нуль значений на спектре матрицы X является необходимым и достаточным условием того, что есть аннулирующий полином матрицы X. Используя это и принимая во внимание сказанное в [90], легко построить аннулирующий полином минимальной степени. Он имеет вид

где полный набор различных собственных значений X и наибольшая степень элементарного делителя, соответствующего собственному значению Если матрица X порядка имеет различных собственных значений, то

Если же у матрицы имеются кратные собственные значения, но всем им соответствуют простые элементарные делители, то

Из изложенного следует, что всякий аннулирующий полином должен делиться на и общий вид аннулирующего полинома следующий: где любой полином. Характеристический полином матрицы X имеет вид

где определитель матрицы . Он представим в виде

где кратность собственного значения и, очевидно, , где полином . Отсюда следует, что аннулирующий полином:

Это соотношение называется тождеством Кейли. Отметим, что в случае, если для всех собственных значений элементарные делители просты, т. е. если , то тождество Кейли непосредственно следует из (57). Действительно, и отсюда

Перейдем к построению полинома совпадающего с заданной функцией при условии принадлежности всех открытому кругу сходимости . Полином минимальной степени, обладающий таким свойством (его мы обозначим через получается путем интерполирования. Из изложенного выше следует, что полином получается из полинома заменой z на X

Если у матрицы X все характеристические числа различны, то

Эта формула называется формулой Сильвестра. Бесконечный ряд входит в эту формулу лишь посредством Если среди характеристических чисел есть совпадающие, но всем им соответствуют простые элементарные делители, то

где — полный набор различных характеристических чисел. В общем случае имеем

где полином определяется формулой (66).

Пример 1. Для матриц второго порядка при получаем

Если имеется один элементарный делитель второго порядка, то

Если же имеется два простых элементарных делителя, т. е.

то

Последнее равенство имеет место и для матриц любого порядка.

Пример 2. Рассмотрим матрицу третьего порядка, имеющую одно собственное значение кратности два и другое простое. Если числу соответствует один элементарный делитель то имеем

Если же числу соответствуют два простых элементарных делителя, то