86. Функции матриц. Предварительные понятия.

Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда аргументом функции является одна или несколько матриц, притом начнем со случая одной матрицы. Выше мы уже рассматривали [II, 44] наиболее простые случаи а именно полином и рациональную функцию от одной матрицы. Прежде чем переходить к исследованию функций более сложных установим некоторые основные понятия. В дальнейшем через обозначается порядок матриц.

Пусть имеется бесконечная последовательность матриц

Будем говорить, что эта последовательность имеет пределом матрицу если при любых значениях значков I и

т. е. элементы матриц имеют своими пределами соответствующие элементы матрицы X. При этом мы будем всегда считать, что рассматриваемые матрицы имеют один и тот же порядок.

Введем теперь некоторые новые обозначения, которые будут нам полезны в дальнейшем. Будем обозначать символом матрицу, все элементы которой равны числу а. Будем обозначать через матрицу, элементы которой равны модулям элементов матрицы X, т. е.

Если некоторая матрица Y имеет положительные элементы, большие, чем элементы матрицы то будем это записывать в виде неравенства

Иначе говоря, это неравенство равносильно системе следующих неравенств:

Рассмотрим бесконечный ряд, члены которого суть матрицы

Он называется сходящимся, если сумма его первых слагаемых (матрица) стремится к определенной предельной матрице Z. При этом матрица Z называется суммой ряда

Это равенство равносильно, очевидно, следующим равенствам:

Назовем окрестностью матрицы А все матрицы удовлетворяющие условию

где — заданное положительное число. Неравенство (26) равносильно следующим неравенствам:

Основную роль при определении функции от матриц будут играть для нас в дальнейшем степенные ряды от этих матриц, и мы переводим сейчас к рассмотрению таких рядов.