53. Основная теорема.

Если в некоторой области В пространства (S) уравнение (174) при условии (175) определяет как комплексную функцию переменных t, x и у, то вещественная и мнимая части любой аналитической функции дают решение уравнения (173). Если же в некоторой области есть вещественная функция то произвольная вещественная функция от с непрерывными производными до второго порядка дает решение уравнения (173).

Если то, деля обе части (174) на можем считать Кроме того, мы можем принять за новую комплексную переменную При этом условие (175) даст так что уравнение (174) может быть переписано, например, в форме

где любая аналитическая функция 0. Вместо мы должны писать, конечно, при этом

Остановимся более подробно на рассмотрении того частного случая, когда . В этом случае уравнение (176) имеет вид

и отсюда определяется как функция лишь от двух аргументов:

В данном случае и построенные нами решения уравнения (173) будут функциями аргументов (178), т. е. это будут однородные функции и у нулевого измерения. Такие функции, как известно, определяются соотношением

которое должно иметь место тождественно. Можно показать, что и, наоборот, любое такое однородное решение уравнения (173) может быть получено указанным выше путем. Будем называть в дальнейшем эти решения просто однородными решениями.

Исследуем более подробно уравнение (177). Входящий в него радикал будет, как мы знаем [19], однозначной функцией на плоскости с разрезом вдоль вещественной оси. Фиксируем значение упомянутого радикала условием, чтобы он был положительным на верхней части мнимой оси, т. е. при где . Это условие равносильно тому, чтобы упомянутый радикал был отрицательно мнимым при или положительно мнимым при на вещественной оси. В этом нетрудно убедиться, следя за непрерывным изменением аргумента упомянутого радикала. Уравнение (177) мы можем переписать в виде

Освобождаясь от радикала и решая полученное квадратное уравнение, получим для выражение

Мы считаем при этом, что имеет место неравенство

или, что то же,

В формуле (180) радикал надо понимать арифметически. В этом легко убедиться, пользуясь самим уравнением (179), где радикал должен иметь определенное значение. Действительно, если мы положим в уравнении то для получим чисто мнимые значения, и в силу (179) знак радикала должен быть противоположным знаку т. е. если, например, то согласно поставленному выше условию должно находиться на верхней части мнимой оси, что и совпадает с тем выбором знака в формуле (180), который мы сделали, считая радикал в этой формуле положительным.

При фиксированных значениях мы имеем в силу (178) прямую пространства (5), проходящую через начало. Будем рассматривать только ту часть этой прямой, на которой , и назовем такую полупрямую лучом. В силу условия (181) или (182) эти лучи образуют конический пучок с вершиной в начале и с углом вершине, причем осью пучка является ось t Уравнение (179) или (180) приводит в соответствие лучам этого пучка комплексные значения плоскости с разрезом . Пользуясь формулой (180), нетрудно проследить это соответствие более подробно. Отметим некоторые существенные факты, непосредственно вытекающие из формулы (180). Прежде всего, отметим, что лучам, образующим поверхность конического пучка, т. е. лучам, которые удовлетворяют равенству

соответствуют точки разреза плоскости 6. Оси нашего конического пучка, которая характеризуется значениями или соответствует бесконечно далекая точка плоскости 0. Наконец, отметим еще, что тем лучам, которые находятся в плоскости и для которых соответствуют вещественные значения 0, по абсолютному значению большие а, т. е. соответствуют точки, лежащие на вещественной оси плоскости 0 и находящиеся вне разреза .

Если мы разделим наш конический пучок плоскостью на две части, то одной из них будет соответствовать верхняя полуплоскость и другой — нижняя полуплоскость, а именно: той половине, где будет соответствовать нижняя полуплоскость, а там, где , — верхняя полуплоскость.

Если мы возьмем решение уравнения (173), построенное указанным выше способом, т. е. являющееся вещественной частью некоторой аналитической функции то такое решение будет иметь постоянное значение на каждом из вышеуказанных лучей.

Исследуем теперь значения для точек пространства (5), которые лежаг вне упомянутого конического пучка, т. е. для всех точек в которых выполнено неравенство

Уравнение (179) даст нам при этом два вещественных корня, принадлежащих отрезку :

Этот отрезок является разрезом на плоскости, и на противоположных берегах этого разреза радикал имеет противоположные знаки, так что в уравнении (179) мы должны в данном случае принимать во внимание двойной знак радикала и вместе с тем в формуле (183) брать также оба знака у радикала. Пусть некоторая точка вне нашего конического пучка, и — соответствующие значения , получаемые из формулы (183). Если мы подставим эти значения и в левую часть уравнения (179), то у нас получатся два вещественных уравнения первой степени относительно и у, и, следовательно, мы будем иметь две плоскости, проходящие через точку Мы можем выразить это и иначе, а именно: всякому значению находящемуся на разрезе , соответствует некоторая плоскость Р пространства (5). Пусть образующая нашего конического пучка, которая соответствует точке разреза. Плоскость Р должна, очевидно, содержать в себе эту образующую X. Нетрудно показать, что плоскость Р будет касательной плоскостью к поверхности нашего конического пучка вдоль образующей X. Действительно, если бы плоскость Р не была касательной к поверхности конуса вдоль X, то она пересеклась бы с этой поверхностью и часть плоскости попала бы внутрь конического пучка. Но тогда мы получили бы, что точкам, лежащим внутри конического пучка, соответствует вещественное из промежутка. что, как мы видели выше, не имеет места. Итак, каждому вещественному , находящемуся на разрезе , в силу - соответствует плоскость, касательная к поверхности контеского

пучка вдоль той образующей, которая отвечает взятому значению .

Вместо того чтобы говорить о коническом пучке и касательных плоскостях к его поверхности, мы можем пользоваться и плоским чертежом, а именно мы можем пересечь наш конический пучок некоторой плоскостью, перпендикулярной к оси t. При этом сам конический пучок изобразится некоторым кругом, а касательные плоскости изобразятся касательными к окружности этого круга. В частности, мы можем воспользоваться переменными Е и для того, чтобы перейти к плоскому чертежу. Вместо конического пучка мы будем иметь на плоскости круг К:

так что каждой точке этого круга будет соответствовать определенный луч нашего пучка, и наоборот. Касательной к окружности нашего круга будет соответствовать упомянутая выше касательная плоскость к поверхности пучка. Полуплоскости будет соответствовать та часть пространства, где . Оси будет соответствовать плоскость

Пусть аналитическая однозначная функция на плоскости с разрезом . Возьмем соответствующее решение уравнения (173):

Рис. 49.

Это решение будет определено внутри нашего конического пучка или, для случая плоскости в круге (184). Укажем один, важный в приложениях, способ продолжения этого решения вне конического пучка. Для этой цели проведем семейство касательных полуплоскостей к поверхности нашего конического пучка так, чтобы эти касательные полуплоскости шли в одном и том же направлении, т. е. соответствующие им касательные к окружности

имели вид, указанный на рис. 49. Эти касательные полуплоскости не будут пересекаться друг с другом и заполнят часть пространства (S), лежащую вне конического пучка. На каждой из таких полуплоскостей сохраняет постоянное значение, и мы можем определить однозначным образом решение и вне конического пучка, пользуясь той же самой формулой (185), которая нам давала решение внутри конического пучка. В данном случае вне пучка решение будет

сохранять постоянное значение уже не на лучах, а на полуплоскостях. Заметим, что мы можем, очевидно, двояким образом определять направление касательных к окружности (186) и, значит, получим два различных способа продолжения решения по указанному выше методу.

Соответствующие поверхности конического пучка принадлежат разрезу а. Мы можем при этом разбить значение и, определяемое формулой (185), на два вещественных слагаемых: и продолжать одно из них по полукасательным (рис. 49), а другое — по полукасательным 11. Это даст нам тоже некоторое решение уравнения вне круга. Мы имеем, таким образом, но существу, бесчисленное множество различных способов продолжения, причем при всех этих продолжениях сохраняется непрерывность решения и при переходе через окружность. В конкретных задачах способ продолжения определяется из рассмотрения движения фронта волны.

Рис. 50.

Все предыдущее относилось к тому случаю, когда мы рассматривали решение во всем пространстве (5). Положим теперь, что нас интересует только полупространство или на плоскости только полуплоскость Положим, что формула (185) дает нам решение в полукруге, причем это решение обращается в нуль на некоторой дуге АВ полуокружности так, как это изображено на рис. 50. В данном случае во многих задачах, связанных с распространением колебаний, мы приходим к однозначному продолжению решения (185), пользуясь полукасательными к окружности, изображенными на рис. 50, т. е. соответствующими полуплоскостями, касательными к поверхности конического пучка. При этом решение будет равно нулю вне контура

Соображения, аналогичные предыдущим, применимы и к общему случаю уравнения (176), но при этом, конечно, вместо конического пучка мы будем иметь более сложный геометрический образ (семейство прямых с двумя параметрами), связанный с выбором функции

Мы можем в уравнениях (176) или (177) выбирать вместо другую комплексную переменную связанную с некоторой аналитической функциональной зависимостью. Укажем на один особенно удобный выбор комплексной переменной. Пусть z связана с 0 формулой

При этом, как мы знаем [35], вместо плоскости 0 с разрезом мы будем иметь для переменной z единичный круг . Пользуясь формулой (187), нетрудно видеть, что при нашем выборе значения радикала будет иметь место формула

Исследуем в данном случае более подробно уравнение (177). Оно будет иметь вид

или

что можно переписать следующим образом:

Введем для круга (184) полярные координаты по формулам

Уравнение (189) перепишется при этом так:

и мы имеем, очевидно, для z решение вида где определяется из квадратного уравнения

т. е. в данном случае каждой точке круга (184) (т. е. лучу) соответствует значение комплексного переменного с тем же самым аргументом и точкам окружности круга (186) соответствуют точки единичной окружности с тем же самым аргументом. Иначе говоря, всякому радиусу круга (184) соответствует радиус единичного круга с тем же самым полярным углом.

Указанные в настоящем пункте основные идеи приложения теории функций комплексного переменного к решению волнового уравнения

(173) имеют обширные приложения в задачах распространения колебаний (акустических, электромагнитных), связанных с волновым уравнением, а также в более сложных задачах распространения упругих колебаний. Предыдущий метод дает только некоторый класс решений уравнения (173), но, как оказывается, в этот класс входят решения, имеющие важное физическое значение, и, пользуясь этим классом решений, можно доводить до конца в виде, удобном для вычисления, задачи, связанные с отражением и дифракцией волн.

Уравнение (173) есть волновое уравнение для плоского случая (цилиндрические волны), но, пользуясь принципом наложения, можно из решений указанного выше типа составлять новые решения и исследовать таким образом волновое уравнение и в общем случае трехмерного пространства. Обоснование изложенного выше метода можно найти в работах С. Л. Соболева и автора, напечатанных в «Трудах Сейсмологического института Академии наук СССР». Его применение к конкретным задачам находится в работах Е. А. Нарышкиной и С. Л. Соболева. Не вдаваясь в подробности, которые завели бы нас слишком далеко и потребовали бы много места, мы изложим весьма кратко применение этого метода к двум задачам: к задаче дифракции плоской волны и к задаче отражения упругих колебаний от плоской границы.