ГЛАВА IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ И ФУНКЦИИ МАТРИЦ

82. Регулярные функции многих переменных.

Теория аналитических функций многих переменных в своих основных понятиях подобна теории функций одной переменной, но при дальнейшем развитии она существенно отличается от нее. Мы будем заниматься лишь основными понятиями этой теории и более подробно остановимся на теории степенных рядов от нескольких комплексных переменных. Для краткости изложения будем говорить часто лишь о функциях от двух комплексных переменных. Все приводимые ниже определения и доказательства легко переносятся на случай любого числа переменных.

Итак, пусть две комплексные переменные и

функция от них. Аналогично случаю одной переменной мы можем рассматривать функцию (1) как функцию в четырехмерном пространстве вещественных переменных Положим, что функция задана в некоторой области D этого пространства. Говоря об области в мы будем всегда подразумевать открытую область. Положим, что функция (1) однозначна и непрерывна в D и что для любой точки из этой области отношения

стремятся к определенным пределам при стремлении комплексных приращений и нулю. При этом функция (1) называется регулярной или голоморфной в D. Упомянутые пределы называются Устными производными от по и по и они обозначаются следующим обычным образом:

Аналогичные обозначения дальше будут применяться и для производных высших порядков.

В случае функции переменных где область D определения ее находится в -мерном пространстве с координатами

Криволинейный интеграл от функции непрерывной на линии

определяется обычным образом при условии, что функции имеют непрерывные или кусочно непрерывные производные первого порядка.

При обобщении формулы Коши на случай нескольких комплексных переменных встречаются большие трудности. Мы рассмотрим это обобщение лишь для простейшего случая области D. Пусть некоторая открытая область на плоскости комплексного переменного . Совокупность всех точек таких, что всякое принадлежит называется полицилиндрической областью -мерного пространства Если есть круг то область D называется круговым цилиндром с центром Для двух переменных применяют обычно термины «бицилиндрическая область» и «круговой бицилиндр». В круговая бицилиндрическая область определяется неравенствами

где .

Можно дать другое определение регулярности функции в области D общего вида: функция называется регулярной в области если она однозначна, непрерывна в этой области и для любой точки этой области существует такая круговая бицилиндрическая окрестность этой точки что в этой окрестности представима абсолютно сходящимся степенным рядом

Мы будем исходить из данного выше определения и докажем его равносильность определению с помощью степенного ряда.

Выше в определение регулярности функции мы включили ее непрерывность по двум переменным . В связи с этим отметим, что имеет место следующая общая теорема Гартогса: если функция однозначна в бицилиндре и такова, что для каждого из круга функция регулярна в круге и для каждого из круга функция регулярна в круге то регулярна в бицилиндре А.