96. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Пусть имеется система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

где суть функции от независимого переменного t и производные этих функций.

Будем считать, что искомые функции суть составляющие некоторого вектора

Составляющие суть в данном случае функции от t, и мы определим дифференцирование вектора по t, как новый вектор с составляющими

Введем, наконец, матрицу А с элементами . В результате этих обозначений можно переписать систему (92) следующим образом:

Пусть ищется решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию

Эти начальные условия образуют некоторый вектор, который мы обозначим через

Нетрудно проверить, что решение системы (93) при заданных начальных условиях (94) имеет вид

или, вводя матрицу

мы можем переписать решение (95) следующим образом:

Действительно, формула (95) дает нам

Дифференцируя по t, получим

или

откуда в силу (95)

Кроме того, удовлетворены, очевидно, и начальные условия, так как при формула (95) дает

Мы можем переписать систему (92), пользуясь матричной записью, и в другой форме. Предварительно выясним основные правила дифференцирования матрицы. Положим, что элементы некоторой матрицы X суть функции переменного t. Определим производную как такую матрицу, элементы которой получаются дифференцированием элементов матрицы X по t, т. е.

Из этого определения непосредственно следует обычное правило дифференцирования суммы, а именно: если X и Y — две матрицы, элементы которых суть функции U то

Точно так же нетрудно доказать и формулу дифференцирования произведения

причем надо помнить, что, вообще говоря, нельзя переставлять множители в написанной формуле (98). Согласно определению умножения имеем

откуда

что и дает непосредственно формулу (98). Эта формула легко обобщается и на случай любого числа сомножителей. Так, например, для трех сомножителей мы будем иметь

Выведем еще формулу для дифференцирования обратной матрицы. Положим, что определитель матрицы X отличен от нуля, так что имеется обратная матрица

Дифференцируя это тождество по получим

откуда и вытекает правило дифференцирования обратной матрицы

Вернемся теперь к системе (92). Рассмотрим решений этой системы. Они образуют, очевидно, квадратную таблицу, состоящую из функций:

Мы считаем, что первый значок у функции обозначает номер функции, а второй значок дает номер решения, в которое входит функция, т. е., например, обозначает выражение для второй функции входящей в решение с номером 3. Мы должны, таким образом, иметь

и можно, следовательно, переписать систему (92) в следующей матричной форме:

где X — матрица (101). Напомним еще раз, что при такой форме записи матрица X дает решений системы (93), причем каждый столбец этой матрицы дает некоторое решение системы (93). В данном случае начальным условием будет являться задание матрицы X при :

где есть произвольным образом заданная матрица с постоянными элементами. Совершенно так же, как и выше, можно показать, что решение системы (102) при начальном условии (103) будет иметь вид

Положим, что определитель матрицы дающей начальные условия, отличен от нуля. Покажем, что при этом определитель матрицы X будет отличным от нуля при всяком t. Принимая во внимание формулу (104), мы видим, что для этого достаточно показать, что определитель матрицы будет отличным от нуля, так как определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц.

Но нетрудно вообще показать, что определитель показательной матрицы всегда отличен от нуля.

Действительно, наряду с матрицей

составим матрицу

При перемножении двух рядов, стоящих в правой части написанных формул, мы будем иметь дело лишь с числами и степенями одной матрицы Y, так что все сомножители можно переставлять.

Таким образом, формально поручится при перемножении тот же результат, который получился бы, если бы мы заменили переменную матрицу У переменным числом z. Но при этом в силу тождества перемножение правых частей формул (105) и (106) дало бы нам единицу, а следовательно, и в данном случае мы будем иметь следующее равенство:

справедливое для любой матрицы Y. Из этого равенства непосредственно вытекает, что матрица обратна матрице и что определитель матрицы отличен от нуля. Заметим, что если Y и Z — две различные матрицы, которые не коммутируют, то произведение не будет, вообще говоря, равно

Итак, из формулы (104) и доказанного свойства показательной матрицы непосредственно вытекает, что если определитель матрицы составленной из начальных условий, отличен от нуля, то определитель матрицы X будет отличным от нуля при всяком t. В этом случае матрица X будет давать линейно независимых решений системы (102). Покажем теперь, что если Y есть матрица, которая дает какие-нибудь решений системы (102), то она выражается через матрицу X, упомянутую выше, при помощи формулы

где В есть некоторая матрица с постоянными элементами. Формула (107) выражает, очевидно, тот факт, что всякое решение системы выражается линейным образом через линейно независимых решений системы. Для доказательства формулы (107) заметим прежде всего, что по условию Y должно удовлетворять уравнению (102), т. е.

Кроме того, по условию определитель матрицы X, также удовлетворяющей уравнению (102), отличен от нуля, а следовательно, существует обратная матрица Согласно правилу дифференцирования обратной матрицы мы будем иметь

или, принимая во внимание формулу (102), получим

Составим теперь производную от произведения

откуда в силу (108) и (109)

т. е.

Мы видим, таким образом, что произведение есть некоторая матрица В, элементы которой не зависят от t, откуда и вытекает непосредственно формула (107).