101. Регулярная особая точка.

Пусть и — две аналитические функции, линейно независимые между собой. Нетрудно построить линейное уравнение, для которого они будут решениями. Действительно, мы должны иметь

и отсюда без труда определяются коэффициенты уравнения, а именно III, 24]:

и

Положим, что точка является регулярной особой точкой. Рассмотрим только случай так как случай формул (30) может быть разобран совершенно таким же образом. Будем в дальнейшем обозначать через ряды, расположенные по целым положительным степеням со свободным членом, отличным от нуля. Имеем в данном случае, по условию регулярности особой точки решения вида

Отсюда

так как частное двух степенных рядов со свободными членами есть также степенной ряд со свободным членом. Дальше имеем

или, производя дифференцирование произведения и вынося за скобки

и, дифференцируя по z, получим

Отсюда

т. e. может иметь в точке полюс не выше первого порядка.

Из выражения путем дифференцирования непосредственно следует, что может иметь в точке полюс не выше первого порядка, а - полюс не выше второго порядка. Формула (33) при этом показывает, что может иметь в точке полюс не выше второго порядка.

Мы приходим, таким образом, к следующей теореме:

Теорема I. Необходимым условием того, чтобы точка была регулярной особой точкой, является то обстоятельство, что коэффициент имеет точку полюсом не выше первого

порядка, а коэффициент имеет точку полюсом не выше второго порядка, т. е. уравнение имеет вид

где - регулярные в точке функции.

Покажем теперь, что это условие не только необходимо, но и достаточно для регулярности особой точки. Напомним, что уравнения вида (34) суть как раз те уравнения, которые мы рассматривали раньше [II, 47] и для которых строили формально решения в виде обобщенного степенного ряда. Но только прежде мы не занимались вопросом о сходимости построенных таким образом рядов. Сейчас мы разберем этот вопрос до конца и докажем, что построенные формально ряды будут сходящимися и будут давать решения уравнения. Для простоты письма будем считать

Перепишем уравнение (34), умножая его на в виде

и будем искать решение этого уравнения в следующей форме:

Подставляя это в левую часть уравнения (35) и приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях z, получим уравнения для определения коэффициентов Эти уравнения будут иметь вид

где мы для краткости ввели следующие обозначения:

Как уже упоминалось, можно считать , и первое из уравнений (37) дает квадратное уравнение для определения показателя степени :

Это уравнение называется обычно определяющим уравнением в рассматриваемой особой точке. Положим, что есть некоторый

корень этого уравнения такой, что при всяком целом положительном имеет место условие

При этом уравнения (37), начиная со второго, дадут нам возможность определить последовательно Первый коэффициент останется произвольным и будет, очевидно, играть роль произвольного постоянного множителя, так что мы можем, например, положить . Мы должны теперь еще показать, что построенный таким образом ряд, входящий в формулу (36), будет рядом, сходящимся в некоторой окрестности точки

Пусть R есть круг сходимости рядов, входящих в коэффициенты уравнения (35). Если есть некоторое положительное число, меньшее то мы имеем для коэффициентов этих рядов следующую оценку [14]:

где ту и некоторые постоянные. Отсюда

и, следовательно, взяв будем иметь оценку вида

Отношение

при беспредельном возрастании будет стремиться к нулю, так как числитель есть полином первой степени от , а знаменатель — полином второй стеиени. Следовательно, можно фиксировать такое целое положительное число N, что

Из формул (37) имеем

откуда

Далее,

поэтому и подавно

Всегда можно выбрать достаточно большое положительное число Р так, что для первых N коэффициентов будет иметь место оценка

Напомним, что мы считаем . Будем, кроме того, считать, что Р во всяком случае выбрано так, что

Для остальных коэффициентов, начиная с мы уже можем пользоваться неравенством (42). Докажем, пользуясь этим неравенством, что если оценка (45) имеет место для всех от до исключительно, то она имеет место и для Действительно, в силу (42), (43) и (44) будем иметь

или в силу (41)

или, предполагая, что для имеет место оценка (45):

Покажем теперь, что

Действительно, это неравенство равносильно следующему:

или

Это последнее непосредственно вытекает из (46). Неравенства (47) и (48) дают

и наше утверждение доказано.

Итак, оценки (45) имеют место до значка включительно в силу выбора числа Р. Для дальнейших значков имеет место неравенство (42), пользуясь которым мы показали, что если оценка (45) имеет место до некоторого значка, то она имеет место и для следующего значка. Таким образом мы доказали, что оценка (45) имеет место для любого значка, т. е. при любом имеем

Но ряд

наверно абсолютно сходится в круге Следовательно, в этом круге и ряд, входящий в формулу (36), члены которого по модулю не больше членов предыдущего ряда, также обязательно будет абсолютно сходящимся, и его, конечно, можно почленно дифференцировать, как всякий степенной ряд.

Таким образом, мы показали, что формула (36) дает действительно решение нашего уравнения в некоторой окрестности точки . Покажем теперь, что ряд (36) сходится во всем круге где сходятся ряды, входящие в коэффициенты уравнения (35). Действительно, в противном случае функция, определенная в окрестности степенным рядом, входящим в формулу (36), должна была бы иметь внутри круга особую точку при аналитическом продолжении [18] (отличную от точки Но этого не может быть, так как коэффициенты уравнения (35) суть регулярные функции во всем круге кроме точки и, согласно результату [100], решение не может иметь там особых точек при аналитическом продолжении.

Если разность корней квадратного уравнения (39) не есть целое число, то для каждого из корней выполнено условие (40), и можно таким образом построить два решения вида (36), причем эти решения будут, очевидно, линейно независимыми .

Перейдем теперь к разбору такого случая, когда квадратное уравнение (39) имеет одинаковые корни или такие различные корни, разность которых есть целое число.

В первом случае, используя единственный корень уравнения, мы построим указанным выше способом одно решение вида (36), и надо будет находить еще второе решение. Обратимся ко второму случаю. Пусть корни уравнения (39) и где — некоторое целое положительное число, т. е. есть тот из корней уравнения, вещественная часть которого больше, чем вещественная часть другого корня. Для корня условие (40) очевидно выполнено, и можно построить, пользуясь этим корнем, решение указанным выше способом. Если мы попытаемся использовать второй корень для построения решения, то встретимся со следующим затруднением. Значение является корнем уравнения (39), и, следовательно, если мы возьмем уравнение системы (37):

то в этом уравнении коэффициент при неизвестном будет равен нулю. Сумма остальных членов будет, вообще говоря, от нуля отлична, и мы придем к противоречивому равенству. Таким образом, и в этом случае нам надо будет иначе искать второе решение. Заметим, что если оказалось бы случайно, что в предыдущем уравнении и упомянутая сумма равна нулю, то мы могли бы за взять любое число и продолжать вычисление дальнейших коэффициентов . Наши предыдущие оценки показывают, что полученный ряд будет сходящимся, и мы будем иметь, таким образом, и в этом исключительном случае второе решение вида (36).

Установим теперь вид второго решения, считая вообще, что

где есть целое положительное число или нуль. Напомним, что для линейного уравнения

мы имели формулу, которая дает второе решение уравнения когда известно его одно решение

где С — произвольная постоянная. В данном случае

и

откуда

где, как и выше, — ряд Тейлора, расположенный по степенями со свободным членом, отличным от нуля. Построенное уже решение имеет вид

откуда

где — ряды Тейлора со свободным членом, отличным от нуля. Подинтегральная функция в формуле (50) будет, следовательно, иметь вид

Числа суть корни квадратного уравнения (39), и, следовательно,

Отсюда в силу (49)

т. е. подинтегральное выражение в формуле (50) будет

Интегрируя это выражение, получим один логарифмический член и затем ряд, который начнется со степени . Умножая это еще на определяемое формулой (51), получим окончательно следующее выражение:

или, в силу (49),

где ряд Тейлора со свободным членом. Выражение (52) по форме совпадает со вторым из выражений (30) причем в формуле (52) ряд Лорана не содержит членов с отрицательными степенями. Заметим, что постоянная вообще говоря, отлична от нуля, но может в отдельных случаях оказаться и равной нулю. Это будут те исключительные случаи, о которых мы говорили выше. Таким образом, мы и в этом случае получаем второе решение, характерное для регулярной особой точки, т. е. имеет место следующая теорема: Теорема II. Для того чтобы точка была регулярной особой точкой, достаточно, чтобы коэффициент в уравнении (1) имел точку полюсом не выше первого порядка, а коэффициент полюсом не выше второго порядка.

Необходимость этого условия была нами установлена выше. Заметим, что иногда может случиться, что в регулярной особой точке оба решения не имеют никаких особенностей. Это будет тогда, когда суть целые не отрицательные числа, причем второе решение не содержит логарифма. Так, например, уравнение

имеет следующие два линейно независимых решения:

Заметим еще, что если то постоянная в формуле (52) наверно отлична от нуля, что следует непосредственно из предыдущих вычислений при .