138. Потенциал объемных масс.

Положим, что в пространстве имеется ограниченный объем V, заполненный материей с плотностью . Потенциал от такого распределения будет выражаться тройным интегралом вида

где d есть расстояние переменной точки объема V до точки М, в которой определяется значение потенциала. Пусть есть начало координат, и введем в рассмотрение длины радиусов-векторов

и угол , образованный этими радиусами-векторами. Возьмем достаточно далекие точки для которых величина больше наибольшей из величин . Для таких точек мы будем иметь следующее разложение [133]:

равномерно сходящееся относительно в силу . Подставляя его в интеграл (86), получим разложение потенциала по целым отрицательным степеням :

где

Определим первые три члена разложения (87). Вспоминая выражение для первых трех полиномов Лежандра, а также принимая во внимание очевидную формулу

можно написать

Подставляя это в формулу (88), будем иметь

т. е. коэффициент при в разложении (87) равен общей массе , заключающейся в объеме V. Далее получаем

Написанные интегралы выражают произведения массы на координаты центра тяжести. Будем считать, что за начало координат выбран центр тяжести массы. При этом мы будем иметь, очевидно, Переходим, наконец, к вычислению . Для этого введем в рассмотрение моменты инерции нашей массы относительно осей

а также центробежные моменты относительно осей

Можно показать, на чем мы не останавливаемся, что координатную систему можно всегда расположить таким образом, чтобы центробежные моменты (90) обратились в нуль. Мы будем считать, что координатные оси и выбраны именно таким образом. Подставляя выражение в формулу (88), мы, как нетрудно проверить, получаем следующее выражение для :

и для потенциала будем иметь с точностью до членов порядка

Вводя сферические координаты вместо х, у и z, можем переписать это выражение следующим образом: