48. Формула Шварца.

Вышеуказанное приложение аналитических функций комплексного переменного к задачам гидродинамики и электростатики по существу было основано на той тесной связи, которая существует между гармоническими функциями и аналитическими функциями комплексного переменного. Мы указывали на эту связь уже раньше в [2].

Формулируем еще раз основные моменты этой связи: вещественная и мнимая части аналитической функции суть гармонические функции и, наоборот, всякую гармоническую функцию можно рассматривать как вещественную часть некоторой аналитической функции, и при этом ее мнимая часть определяется с точностью до постоянного слагаемого, т. е. сама функция по вещественной части определяется с точностью до чисто мнимого постоянного слагаемого. Как мы упоминали раньше [II, 204], в случае ограниченной области гармоническая функция определяется единственным образом своими предельными значениями на контуре этой области (задача Дирихле). Таким образом, принимая во внимание сказанное выше, мы можем утверждать, что регулярная в некоторой области В с контуром l функция f(z) определяется с точностью до чисто мнимого постоянного слагаемого по заданным значениям ее вещественной части на контуре l.

В общем случае любой области мы не имеем простой формулы, которая бы давала нам решение этой задачи, т. е. определяла бы регулярную функцию по заданным контурным значениям ее вещественной части. В случае круга такую формулу построить нетрудно, к чему мы сейчас и переходим.

Пусть имеется круг с центром в начале и радиусом R. Пусть, далее, вещественная часть искомой аналитической функции. Эта гармоническая функция определяется своими контурными значениями при помощи интеграла Пуассона, который, как мы знаем, имеет следующий вид [II, 204]:

Нетрудно сидеть, что ядро этого интеграла Пуассона, т. е. дробь, стоящая под знаком интеграла, представляет собою вещественную часть некоторой аналитической функции, а именно:

Если мы подставим под знак интеграла вместо ядра интеграла Пуассона написанную аналитическую функцию комплексного переменного то в результате получится функция комплексного переменного z, вещественная часть которой совпадает как раз с и . Эта функция будет иметь вид

Полагая в этой формуле мы получим чисто вещественное значение для f(z), т. е. формула (119) дает то решение нашей задачи, которое имеет вещественное значение в начале. Если мы обозначим через мнимую часть искомой функции в начале, то общее решение задачи будет иметь вид

Эта формула и называется обычно формулой Шварца.

Если мы отделим мнимую часть у дроби, стоящей под знаком интеграла:

то получим выражение мнимой части регулярной функции внутри круга через контурные значения ее вещественной части:

Все сказанное выше имеет тесную связь с понятием о сопряженных тригонометрических рядах.

Пусть

- ряд Фурье функции представляющей предельные значения вещественной части При этом, как мы знаем [II, 205], можно представить саму эту вещественную часть внутри круга не интегралом Пуассона, а рядом вида

Для мнимой части мы будем иметь сопряженный тригонометрический ряд [25]

Если функция имеет достаточно хорошие свойства, например имеет первую производную, удовлетворяющую условиям Дирихле, то ряд (123), так же как и ряд (122), будет равномерно сходящимся во всем замкнутом круге и функция будет гармонической внутри круга и непрерывной в замкнутом круге. Ее называют обычно функцией, сопряженной с и то же название сохраняется и для ее предельных значений по отношению к

Положим, что два интеграла Шварца дают одну и ту же регулярную внутри круга функцию

где — непрерывные вещественные функции. Нетрудно видеть, что эти функции совпадают, так как они являются предельными значениями одной и той же гармонической функции, а именно вещественной части нашей регулярной функции. Таким образом, тождество (124) относительно z вполне равносильно тождеству относительно . В этом, по существу, и состоит теорема Гарнака, о которой мы упоминали в [8].