71. Эйлеров интеграл второго рода.

Рассмотрим функцию, определяемую эйлеровым интегралом второго рода:

причем и значение логарифма положительного числа t надо брать вещественным. Представим написанный интеграл в виде суммы двух интегралов:

Рассмотрим сначала второе слагаемое в правой части:

При подинтегральная функция

есть непрерывная функция t и z для любого и есть целая функция от z при всяком 1. Положим, что принадлежит некоторой ограниченной области В плоскости z. Положим . В замкнутой области В абсцисса имеет наибольшее значение, которое мы обозначим через Принимая во внимание, что при и что модуль показательной функции с чисто мнимым показателем равен единице, получим для , принадлежащих В:

Интеграл

очевидно сходится [II, 85], и, следовательно, интеграл (113) сходится равномерно относительно , принадлежащих В. Принимая во внимание вторую теорему предыдущего номера и полную произвольность при выборе В, можем утверждать, что со определяемая формулой (113), есть целая функция, и можно дифференцировать по z под знаком интеграла.

Рассмотрим теперь первое слагаемое формулы (112):

В данном случае подинтегральная функция (114) может терпеть разрыв непрерывности при так как при обращается в Как и выше, модуль функции (114) будет

Если то при подинтегральная функция не будет терпеть разрыва непрерывности, и, применяя первую из теорем предыдущего параграфа, мы убедимся, что функция (115) будет регулярной функцией при т. е. правее прямой . Докажем сейчас, что она будет регулярной правее мнимой оси. Действительно, возьмем какую-нибудь конечную область лежащую правее мнимой оси. Пусть наименьшая абсцисса точек замкнутой области В. Раз замкнутая область В лежит правее мнимой оси, то Принимая во внимание, что при получим

если z принадлежит В. Но при интеграл

сходится, и, следовательно, как и выше, отсюда следует регулярность функции (115) правее мнимой оси и возможность дифференцировать под знаком интеграла. Из всего сказанного следует, что формула (111) определяет справа от мнимой оси регулярную функцию

Займемся сейчас аналитическим продолжением функции налево от мнимой оси и покажем, что есть мероморфная функция, имеющая простые полюсы в точках

Поскольку второе слагаемое справа в формуле (112) есть целая функция, нам надо заняться функцией (115).

На конечном промежутке функция разлагается в равномерно сходящийся ряд:

где, как всегда, считаем Умножая на и интегрируя почленно по промежутку (0, 1), получим

Мы считаем z лежащим правее мнимой оси и, следовательно, вещественная часть положительна, и при т. е.

Таким образом, для получаем следующее выражение правее мнимой оси:

Бесконечная сумма, стоящая в правой части, ввиду присутствия в знаменателе сходится абсолютно и равномерно во всякой ограниченной части плоскости, если отбросить несколько первых слагаемых, имеющих полюсы в точках (116). Следовательно, эта сумма дает мероморфную функцию с простыми полюсами (116), причем вычет в полюсе равен Второе слагаемое справа есть, как мы уже упоминали, целая функция. Таким образом, правая часть формулы (117) дает аналитическое продолжение функции определенной формулой (111) только справа от мнимой оси, на всю плоскость комплексного переменного z, причем оказывается мероморфной функцией с простыми полюсами (116) и с вычетом в полюсе . Нетрудно получить значения при целых положительных значениях аргумента. Положим где — целое положительное число. Мы получим при этом

и

Таким образом, значения при целых положительных z дают факториалы целых чисел:

Выясним теперь основные свойства функции . Считая и интегрируя по частям, будем иметь

т. е.

Мы доказали это равенство лишь на положительной части вещественной оси. Но если две аналитические функции совпадают на некоторой линии, то они совпадают везде [18], и, следовательно, формулу (119) можно считать установленной при всех z. Пусть n — некоторое целое положительное число. Применяя несколько раз формулу (119), получим более общее равенство, справедливое при всех комплексных

Будем теперь считать, что z находится внутри отрезка (0, 1) вещественной оси, и вернемся к основной формуле (111), причем вместо переменной интегрирования t введем новую переменную интегрирования и по формуле Мы получим следующий результат:

Заменяя z на можно написать

Отсюда, перемножая, получим

Интеграл, стоящий справа, мы можем толковать как двойной интеграл на плоскости причем областью интегрирования является первый координатный угол, т. е. та часть плоскости, где Введем вместо u и v полярные координаты:

Формула (121) перепишется в виде

где интегрирование по надо производить от 0 до от , т. е.

Как легко видеть,

и, следовательно,

Введем вместо новую переменную по формуле

Предыдущий результат можно будет при этом переписать в виде

Но, как мы знаем [62], интеграл, стоящий справа, равен и, следовательно, окончательно получаем следующую формулу:

Эта формула доказана нами лишь для отрезка вещественной оси. Но, как и выше, пользуясь принципом аналитического продолжения, мы можем убедиться, что она справедлива для всех .

Формула (120) позволяет сводить вычисление при любою вещественном z к значениям на отрезке . Формула (122)

дает возможность привести отрезок (0, 1) к отрезку Полагая в формуле получим