106. Полиномы Якоби.

Полиномы Лежандра являются лишь частными случаями тех полиномов, которые получаются, когда гипергеометрический ряд обрывается и превращается в полином. Мы исследуем теперь общий случай. Введем следующее обозначение:

и будем считать, что и q суть фиксированные числа, большие, чем причем мы всегда будем предполагать, что параметры суть числа вещественные. Для того чтобы гипергеометрический ряд оборвался и превратился в полином степени мы должны принять а или равным . Не ограничивая общности, мы можем считать, например, и определить затем из (91) значение а и у. Обозначим полученный таким образом полином следующим образом:

где произвольная постоянная.

Применяя к написанному гипергеометрическому ряду формулу (64), убедимся в том, что коэффициент при в полиноме (92) равен

Применяя к полиному (92) формулу (77), будем иметь

Определим постоянную формулой

При этом для построенного полинома получится формула

Если вместо z ввести по формуле (80), то получатся полиномы от которые называются полиномами Якоби:

При p = q = 0 эти полиномы совпадают с полиномами Лежандра. При .

Из определения непосредственно следует, что коэффициент при в полиноме (92) равен

а в полиноме коэффициент при равен

В рассматриваемом случае мы имеем

и функция (92) является решением уравнения

Совершая замену независимой переменной (80), получим для полиномов Якоби уравнение вида

В данном случае полиномы Якоби (93) при являются решением следующей предельной задачи: найти такие значения параметра X, при которых дифференциальное уравнение

имеет решение, конечное на отрезке (-1, 1), включая его концы. Эти значения параметра будут

а соответствующие решения и суть полиномы Якоби.

Пользуясь уравнением (94) для полиномов Якоби, нетрудно показать, как и в случае полиномов Лежандра, что имеют место следующие равенства 1

Свойства (97) выражают следующим образом: полиномы Якоби ортогональны на промежутке (-1, 1) с весом

Из формулы (93) можно, как и для полиномов Лежандра, заключить, что

Займемся теперь вычислением интеграла

Пользуясь формулой (93), можем написать

Производя, как и в [105], интегрирование по частям, получим

причем внеинтегральные члены обратятся в нуль в силу Обозначая, как и выше, через коэффициент при в полиноме , получим

Вводим новую переменную интегрирования

т. е.

или, подставляя указанное выше выражение для а и пользуясь формулой (120) из [71],

т. е. имеет место формула 1

При последнее выражение в силу имеет

Отметим еще один частный случай, а именно тот, когда Введем для этих полиномов особое обозначение

где некоторые постоянные.

В силу (93) они определяются следующим соотношением:

Выведем теперь другое выражение для этих полиномов, для чего воспользуемся тем дифференциальным уравнением, которому они должны удовлетворять. Это уравнение получится из уравнения (94), если там положить . Будем иметь для уравнение

Корни определяющего уравнения в особой точке будут и . Первому из них и соответствует решение в виде полинома, а второе решение наверно отлично от полинома. Чтобы найти полином, удовлетворяющий уравнению (103) в удобной форме, введем вместо новую независимую переменную по формуле

Заменяя дифференцирование по дифференцированием по , будем иметь по правилу дифференцирования сложных функций

Подставляя это в уравнение (103), получим

Решения последнего уравнения суть

или для уравнения (ЮЗ) получаем решения вида

Пользуясь известной формулой [I, 174]

убеждаемся, что первое из этих решений есть полином от х, и, следовательно, с точностью до произвольного множителя решение уравнения, представляющееся полиномом, будет

и этот полином называется полиномом Чебышева. При мы имеем и, следовательно, с другой стороны, по формуле (99)

и отсюда нетрудно определить постоянный множитель в формуле (101):