147. Производящая функция и интегральное представление.

Рассмотрим аналитическую функцию комплексного переменного t

Она имеет существенно особые точки и разлагается, следовательно, в ряд Лорана на всей плоскости комплексного переменного t, причем коэффициенты этого разложения будут функциями параметра , входящего в выражение (35):

Покажем теперь, что эти коэффициенты и будут функциями Бессселя . Действительно, мы имеем для коэффициентов разложения (36) следующее представление контурным интегралом [15]:

где любой простой замкнутый контур, обходящий вокруг начала в положительном направлении. Введем вместо и новую переменную интегрирования t по формуле и где z — некоторое фиксированное значение, отличное от нуля. Точке соответствует и контур перейдет на плоскости t также в некоторый контур, обходящий вокруг начала в положительном направлении. Совершая замену переменных, получим следующее выражение для коэффициентов:

На контуре мы можем представить показательную функцию в виде степенного ряда, равномерно сходящегося по отношению к

Подставляя это в предыдущую формулу, получим

Если есть целое отрицательное число, то подинтегральная функция в последнем интеграле не имеет точку особой, и величина интеграла будет равна нулю. Еслл же есть целое положительное число или вспоминая разложение , мы убеждаемся, что вычет подинтегральной функции в точке будет равен Следовательно, при целом положительном значении значка мы получаем

т. е. действительно совпадает с . Если заменим в формуле (36) t на , то левая часть останется неизменной, и это показывает нам, что т. е. при отрицательном значении имеем в силу (8)

Таким образом, вместо формулы (36) можно написать следующее разложение:

Иначе говоря, функция (35) является производящей функцией для бесселевых функций с целым значком. Формулой (37) удобно пользоваться для выяснения свойств функций Бесселя с целым значком. В частности, используем эту формулу для вывода интегрального представления функции Бесселя с целым значком.

Полагая в формуле (37) , получим

или, разделяя вещественную и мнимую части, причем и мы считаем вещественными,

или, принимая во внимание (8), получим

Формулы (38) представляют собою разложение функций в ряд Фурье; применяя обычный способ определения коэффициентов, получаем следующие интегральные представления для функций Бесселя:

Тот же способ определения коэффициентов дает нам следующие два равенства:

Можно объединить формулы (39) в одну формулу, справедливую как при четном, так и при нечетном значке. Рассмотрим для этого интеграл

При четном n первое слагаемое справа есть а второе равно нулю, так что вся сумма равна При нечетном первое слагаемое будет нуль, а второе даст так что при любом целом положительном значке мы имеем интегральное представление

Строго говоря, последнее равенство доказано нами лишь для вещественных значений . В силу принципа аналитического продолжения можем утверждать, что оно справедливо и при любом комплексном z. Принимая во внимание четность подинтегральной функции, мы можем записать эту формулу следующим образом:

Эту последнюю формулу можно еще записать так

Действительно, применяя формулу Эйлера к показательной функции, получим два слагаемых, из которых одно будет равно интегралу (41), а второе будет равно нулю, в силу нечетности подинтегральной функции.

Заметим, что формула (40) уже не имеет места, если значок не есть целое число. В данном случае мы имеем более сложную формулу, а именно:

причем эта формула справедлива для значений z, лежащих справа от мнимой оси. Напомним при этом определение гиперболического синуса;

Доказательство этой формулы дано в [152].

Применяя формулу (37) и пользуясь очевидным равенством

имеем

Перемножая степенные ряды, стоящие направо, и собирая члены с получим

Эта формула выражает теорему сложения бесселевых функций с целым значком.

Для значка, равного нулю, существует более общая теорема сложения, а именно: