121. Условия устойчивости и неустойчивости для уравнения Хилла.

Выше было показано, что для уравнения Хилла имеет место устойчивость (все решения ограничены при если для постоянной Ляпунова А выполнено неравенство или неустойчивость показательного типа, если Однако обычно нельзя различить эти случаи без численного интегрирования, так как А выражается лишь через решения уравнения (275) по формуле (279).

Далее мы выведем простые достаточные условия устойчивости и неустойчивости, принадлежащие А. М. Ляпунову и Н. Е. Жуковскому выраженные непосредственно через функцию . Для этого нам понадобятся некоторые леммы, первая из которых непосредственна связана с содержанием [II, 31].

Лемма 1. Пусть в уравнениях

коэффициенты — вещественные непрерывные функции на всей оси . Тогда между двумя корнями любого решения второго из уравнений лежит по крайней мере один корень любого решения первого из уравнений (285). Пусть, далее, имеются начальные условия

и при решение положительно. Тогда на указанном промежутке

Доказательство первого утверждения указано в Переходим к доказательству второго утверждения.

Умножая первое из уравнений на второе на и вычитая полученные уравнения почленно, получим

На промежутке решения удовлетворяющие условиям положительны в силу первого утверждения, и отношение равное единице при в силу (286) возрастает, откуда и следует второе утверждение леммы.

Лемма 2. Если и уравнение Хилла имеет не обращающееся в нуль апериодическое решение то

Доказательство. Подставляя и интегрируя по частям, получим

В силу периодичности внеинтегральный член исчезает, и из полученной формулы следует (287).

Введем понятие выпуклого множества функций. Множество М вещественных непрерывных функций называется выпуклым при соблюдении следующего условия: если функции принадлежат , то и функция

при всех s, удовлетворяющих условию также принадлежит М. Переходим к основной для дальнейших доказательств лемме.

Лемма 3. Пусть М — некоторое выпуклое множество -периодических, вещественных и непрерывных функций такое, что

(1) для из М уравнение (275) не имеет апериодических и -антипериодических решений; (11) множество М содержит функцию тождественно равную положительной постоянной. Тогда при из М для соответствующей характеристической постоянной Ляпунова выполнено неравенство

Доказательство. Пусть из М. Положим Выпуклость множества М означает, что тоже из М при . Для уравнения (275) с коэффициентом постоянная является функцией 5. Покажем, что Фудет непрерывной функцией s. Любое решение уравнения (275) с начальными значениями не зависящими от s, будет непрерывной (и даже целой) функцией s. Это сразу следует из равномерной при ), сходимости к решению последовательности определенной соотношениями [II, 50]

При этом будут непрерывными (и даже целыми) функциями s. Следовательно, непрерывными (и даже целыми) функциями s будут , а значит, и определенная формулой (279) функция .

Как было показано в предыдущем пункте, из предположения (I) следует, что при выполнено Из предположений (I) и (II) следует, что так как для уравнения (275) с коэффициентом имеем Выше было показано, что для уравнения с коэффициентом выполнено Итак, при Следовательно, при и, в частности, что и утверждалось.

Отметим, что утверждение леммы 3 остается справедливым при более общих предположениях, например, когда условие выпуклости множества М заменено условием связности. Для дальнейшего, однако, достаточно сформулированного утверждения.

Критерий Н. Е. Жуковского. Если для некоторого выполнено

то все решения уравнения (275) ограничены при и для этого уравнения

Доказательство. Множество М вещественных -периодических функций удовлетворяющих соотношениям (288), очевидно,

выпукло, и выполнено также условие (II) леммы 3. Покажем, что выполнено условие (I). Пусть решение уравнения (275) для некоторого из М такое, что . Решение непременно имеет нули. Действительно, если то меняет знак и, следовательно, имеет нули. Если , то имеет нули по лемме . Пусть какие-либо два последовательных нуля функции . Будем считать для определенности, что при Построим решения и уравнения (275) с коэффициентами и с начальными условиями

Рис. 70.

Расстояния между соседними нулями у решений будут, очевидно, - и По лемме графики функций расположены так, как показано на рис. 70, т. е.

Таким образом, расстояние d между любыми соседними нулями решения удовлетворяет неравенству

Поскольку то на интервале длины укладывается целое число (обозначим его через k) отрезков между соседними нулями решения . Длины этих отрезков должны удовлетворять соотношению (289). Легко убедиться в том, что это невозможно. Действительно, имеем Складывая соответствующие неравенства (289), получим что невозможно, так как k — целое число.

Итак, выполнено условие (I) леммы 3. Из леммы 3 поэтому следует справедливость критерия Жуковского.

Отметим, что, несколько уточняя приведенные рассуждения, легко заменить (288) более общим условием, а именно заменить в (288) знаки на но при этом потребовать, чтобы . При этом по-прежнему

В работе В. А. Якубовича (Матем. сб., т. 37 (79), вып. 1, 1965) установлено следующее обобщение критерия Н. Е. Жуковского: неравенство имеет место, если выполнено неравенство

где — какие-либо произвольные, дважды непрерывно дифференцируемые -периодические положительные функции, нормированные условием

При этом предполагается, что не совпадает тождественно ни с левой, ни с правой частью неравенства (290). Исторически первым достаточным условием устойчивости для уравнения Хилла было следующее условие, установленное А. М. Ляпуновым (см. А. М. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения, 1894):

Неравенство имеет место, если

При этом считается, что

Лемма 4. Пусть последовательные нули произвольного решения уравнения (275), в котором . Тогда

Доказательство. Предполагается, очевидно, что . Можно считать, что при а и пусть

Существуют точки принадлежащие промежуткам и такие, что

При имеем и, интегрируя, получим

В подинтегральном выражении , а знаменатель мы заменили его максимумом . При этом вместо мы поставили Оправдаем это. Если бы вместо стоял знак =, то в силу

непрерывности мы должны были бы иметь в промежутке , и надо привести это тождество к противоречию. Из указанного тождества следует, что в точках промежутка i или , или . Докажем, что у = 0 внутри , а тем самым и на концах. Пусть существует такая точка , в которой . Мы должны при этом иметь при всех х, достаточно близких к . При этом из формулы Тейлора , следует, что при х, близких к и отличных от , мы имеем , что противоречит указанному выше тождеству, и, следовательно, из него следует, что при , т. е. в этом промежутке , что противоречит (293). Таким образом, доказано наличие знака в (294). Используя (293) и (294), получим

При изменении с в промежутке правая часть достигает минимального значения в случае , т. е.

откуда и следует (292).

Переходим к доказательству критерия (291). Применим лемму 3. Множество функций , удовлетворяющих условиям (291), очевидно, выпукло. Условие (II) леммы выполнено. Покажем, что и условие (I) выполнено. Предположим, что имеется -периодическое или -антипериодическое решение и приведем это предположение к противоречию. Согласно лемме имеет нули и расстояние d между соседними нулями а и b удовлетворяет неравенству . Согласно лемме 4

По второму из условий (291) правая часть не меньше , откуда . Это противоречие указывает на выполнение условия (11) леммы 3, и из последней следует достаточность критерия (291) для выполнения условия .

Как показал М. Г. Крейн, для выполнения неравенства вместо (291) достаточны следующие менее ограничительные условия:

где

и предполагается, что Этот критерий доказывается по той же схеме, что и выше.

Приведем еще следующие критерии (В. А. Якубович, ДАН СССР, т. 74, № 5, 1950), являющиеся по своему характеру промежуточными между критериями А. М. Ляпунова и Н. Е. Жуковского: если для некоторого выполнено

или

и

то . Для первый из критериев переходит в критерий A. М. Ляпунова. Можно показать, что эти критерии являются точными: при сколь угодно малом увеличении постоянных в правых частях неравенств, содержащих интегралы, всегда можно найти функцию для которой выполнены соответствующие условия, но

Другие критерии устойчивости уравнения Хилла получены М. Г. Крейном, М. Г. Нейгауз, В. Б. Лидским, Ж. Боргом и В. А. Якубовичем. Эти условия можно найти в обзоре B. М. Старжинского (ПММ, т. 18, в. 4, 1954).

Условий неустойчивости уравнения Хилла, достаточно эффективных и просто формулируемых, известно немного. Приведем следующий простой критерий, установленный А. М. Ляпуновым:

Если в уравнении Хилла , то и, следовательно, числа различны и положительны.

Доказательство. Пусть решение нашего уравнения, удовлетворяющее начальным условиям Интегрируя уравнение Хилла и принимая во внимание последнее начальное условие, мы можем написать

При значениях близких к нулю и положительных, близко к единице, и, следовательно, в силу возрастает. В силу соотношения могло бы стать отрицательным только после того, как станет отрицательным. Но, с другой стороны, для того чтобы стало отрицательным, необходимо, чтобы оно предварительно начало убывать, т. е. необходимо, чтобы до этого стало отрицательным. Мы приходим, таким образом, к противоречию и можем утверждать, что при всяком будет и, в частности, имеем Возьмем теперь решение удовлетворяющее начальным условиям Интегрируя уравнение Хилла, получим

При X близких к нулю, близко к единице и, следовательно, положительно, а потому возрастает и больше нуля, ибо Формула (296) показывает, что может стать отрицательным только после того, как станет отрицательным. Но, с другой стороны, может стать отрицательным, лишь предварительно убывая, т. е. после того, как станет отрицательным. Это противоречие показывает нам, что при всяком положительном мы имеем и, в частности, Доказанные неравенства для дают нам

что и утверждалось.

Несколько уточняя предыдущие рассуждения, мы могли бы условие заменить условием

Рассмотрим в заключение уравнение Хилла, содержащее параметр X:

где, как и раньше, - периодическая функция и - комплексный параметр. Как мы видели раньше, вопрос об ограниченности или неограниченности решений уравнения (297) при вещественных значениях X решается величиной характеристической постоянной Ляпунова

Эта постоянная в случае уравнения (297) зависит от параметра X, и мы ее обозначим через Л (X). Учитывая равномерную сходимость метода последовательных приближений при построении решений можно утверждать, что целая функция X, вещественная при вещественных X. Как известно, при этом, если то все решения уравнения ограничены при если то общее решение уравнения не ограничено, а при общее решение может быть как ограниченным, так и неограниченным.

Сформулируем некоторые общие результаты, касающиеся промежутков изменения X, для которых будет иметь место ограниченность или неограниченность

общего решения уравнения (297) на бесконечном промежутке - (Близкие, утверждения установлены впервые А. М. Ляпуновым, Собр. соч., т. 2, изд. АН СССР, 1956, стр. )

1°. Каждое из уравнений

имеет бесчисленное множество корней. Все они вещественны, и их кратность не выше двух.

2°. Эти корни могут быть пронумерованы так, что

где - корни уравнения корни уравнения (298). Открытые интервалы являются интервалами ограниченности (в них ), а те из открытых интервалов которые не вырождаются в точку, являются интервалами неограниченности (в них

Если

4°. На каждом из интервалов ограниченности (| А (X) | < 1) функция А (X) меняется монотонно (А (X) > 0 или то существуют два линейно независимых решения таких, что

В этом случае

и

и общее решение уравнения (297) растет, как

Рис. 71.

Если , то

4. На каждом из интервалов ограниченности функция меняется монотонно или При вещественном а, уравнение имеет лишь вещественные корни.

Аналогичные предложения имеют место и для знакопеременной функции но при этом промежутки ограниченности и неограниченности расположены как на положительной, так и на отрицательной полуоси X.

На рис. 71 изображен график и проведены две прямые, параллельные оси и отстоящие от нее на расстоянии единицы. Точки пересечения графика с этими прямыми дают значения и .