25. Ряд Тейлора на окружности круга сходимости.

Рассмотрим ряд Тейлора

с радиусом сходимости R.

Полагая можем написать ряд (138) в виде

или

Этот ряд по условию будет сходящимся при Что же касается , т. е. самой окружности круга сходимости, то в этом случае ничего определенного сказать о сходимости нельзя. Если мы возьмем, например, ряд

с радиусом сходимости , то на самой окружности круга сходимости, т. е. при модули всех членов ряда будут равйы единице, и ряд будет, очевидно, расходиться на всей окружности круга сходимости. В качестве противоположного примера рассмотрим ряд

Для этого ряда отношение модулей последующего члена к предыдущему будет

и это отношение будет стремиться к а следовательно, в силу признака Даламбера, радиус сходимости этого ряда будет также единица. Подставляя получим ряд, модули членов которого будут равны положительным числам образующим сходящийся ряд, т. е. ряд (141) сходится абсолютно и равномерно не только внутри круга сходимости, но и во всем замкнутом круге, включая его окружность. Мы видим, таким образом, что в вопросе сходимости степенного ряда на окружности круга сходимости обстоятельства могут быть весьма разнообразными.

Выше мы видели, что дифференцирование и интегрирование степенного ряда не меняют круга сходимости. Но эти операции могут весьма существенным образом сказаться на сходимости этого ряда на контуре круга сходимости. Так, например, интегрируя два раза ряд (140), получим ряд

который, как и ряд (141), абсолютно и равномерно сходится во всем замкнутом круге.

Отметим одну теорему, которая касается суммы степенного ряда» если он сходится на окружности круга сходимости. Совершенно аналогичную теорему для случая вещественного переменного мы доказали раньше [I, 149] и здесь мы не будем останавливаться на доказательстве и формулируем лишь результат.

Вторая теорема Абеля. Если степенной ряд (138) сходится в некоторой точке окружности круга сходимости, то он сходится равномерно на всем радиусе Отсюда непосредственно следует, что сумма ряда есть непрерывная функция на всем упомянутом радиусе, т. а что значение суммы ряда в точке окружности равно пределу, к которому стремятся внутренние значения суммы ряда при приближении к точке изнутри по радиусу. На этой теореме основано простое определение сумм некоторых тригонометрических рядов.

Рассмотрим один пример. Заменим в разложении

на и вычтем полученный ряд из предыдущего. Таким образом получится разложение

с кругом сходимости Положим в этом разложении и отделим вещественную часть от мнимой:

Рис. 25.

Можно показать, на чем мы не останавливаемся, что оба написанных тригонометрических ряда сходятся, если отлично от Определим суммы этих рядов, исходя из формулы

Из рис. 25 непосредственно получаем при

Аргумент дроби равен углу, образованному вектором МА с вектором МА, причем при (векторы и совпадают с вектором ОА) сумма ряда (142) равна нулю и упомянутый угол надо считать равным нулю. При точка М стремится к и при совпадении указанный угол равен опирается на диаметр). Мы определили, таким образом сумму вышенаписанных рядов:

Отметим еще одно обстоятельство, связанное с представлением тригонометрического ряда в виде (139). Отделим у коэффициентов вещественную и мнимую части: Подставляя в формулу (139) и отделяя у всей суммы вещественную и мнимую части, мы получим формулу вида

Второй тригонометрический ряд отличается от первого лишь тем, что коэффициенты при переставлены, причем у коэффициента, который стоял при изменен знак. Обычно второй тригонометрический ряд называется сопряженным с первым.