181. Основные свойства функций Якоби.

Формулы (131) дают представление функций Якоби в виде частного двух целых функций. Пользуясь нечетностью и четностью остальных функций мы можем заключить, что есть нечетная функция, а четные функции.

Кроме того, , и мы имеем

а формулы (120) дают

Вернемся теперь к таблице (109), дающей формулы приведения функций тэта. Принимая во внимание, что прибавление к v слагаемого или равносильно прибавлению к и слагаемого или и пользуясь основными соотношениями (131), мы получаем следующую таблицу, дающую формулы приведения функций Якоби:

Три последних столбца этой таблицы показывают, что функция имеет периоды функция имеет периоды и, наконец, функция имеет периоды .

Таблица (110), определяющая нули функций тэта, приводит нас непосредственно к таблице, определяющей нули и полюсы функций Якоби. Присоединяя сюда еще и указание на периоды, мы получаем следующую таблицу:

На рис. 83 изображены параллелограммы периодов функций Якоби, причем кружками обозначены корни и крестиками — полюсы соответствующей функции. Поскольку функции тэта, как и функции , имеют простые корни, мы можем утверждать, что функции

Якоби имеют простые полюсы. В каждом из изображенных параллелограммов этих полюсов будет два, т. е. все функции Якоби суть эллиптические функции второго порядка с простыми полюсами.

Рис. 83.

Этот факт непосредственно связан с тем, что все эти функции могут быть получены в результате обращения некоторых эллиптических интегралов первого вида, содержащих полином четвертой степени под знаком радикала. Мы и переходим сейчас к выяснению этого обстоятельства.