176. Функция ...

В новых обозначениях мы имеем следующую форму основного свойства функции :

Добавим к функции с показательный множитель

и выберем числа а и b так, чтобы новая функция имела период Мы имеем в силу (84)

или

и точно так же

В формуле (86) показатель степени правой части есть полином первой степени от . Для того чтобы правая часть была равна единице при всяком , необходимо приравнять нулю коэффициент при в показателе, а свободный член в показателе приравнять выражению вида , где k — целое нечетное число. Мы положим в соответствии с этим

Подставляя это в правую часть формулы (87), будем иметь в силу (83)

Мы видим, таким образом, что для функции

имеют место равенства

Так как есть целая функция с периодом то для нее имеем разложение вида [172]

Кроме того, добавление к и числа равносильно умножению на т. е.

и вторая из формул (89) дает нам

или, заменяя в последней сумме переменную суммирования на

Отсюда, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем

что может быть записано также следующим образом:

Мы видим, таким образом, что выражение

должно сохранять одно и то же значение при всех целых значениях . Положим

где С — некоторая постоянная. Отсюда получаем следующее выражение для коэффициентов разложения функции :

и, следовательно,

Формула (88) дает нам при этом следующее выражение для функции Вейерштрасса

Это приводит нас, естественно, к введению новой функции

которая связана с функцией а следующим соотношением:

Определим теперь постоянную С. Принимая во внимание, что что в силу и что отношение при равно , получим, деля обе части формулы (93) на и полагая затем

и окончательно

Преобразуем теперь степенной ряд (92) для функции в тригонометрический ряд. Для этого нам надо будет в упомянутом разложении сгруппировать члены, относящиеся к показателям степени, одинаковым по величине и обратным по знаку. Обозначим через v положительное нечетное число откуда Для положим откуда и мы можем написать

где суммирование в каждой из сумм производится по нечетным положительным числам, т. е. . Принимая во внимание, что

и

можно переписать предыдущую формулу в следующем виде:

или

Функция называемая обычно первой тэта-функцией, есть целая нечетная функция от v. При построении этой функции мы пользуемся только одним комплексным числом , которое по условию должно лежать в верхней полуплоскости, т. е. иметь положительную мнимую часть, причем Поэтому тэта-функцию иногда обозначают через .