141. Шаровые функции и линейные представления группы вращения.

Как мы уже упоминали раньше, однородные полиномы переменных (х, у, z), удовлетворяющие уравнению Лапласа, дают некоторое линейное представление группы R вращения пространства вокруг начала.

Мы видим, таким образом, что совокупность сферических функций порядка l дает линейное представление группы R, и это представление будет представлением порядка Рассмотрим этот вопрос несколько подробнее.

Возьмем сферические функции порядка l в том виде, в каком они указаны формулами (18), и введем для них специальные обозначения:

где

Пусть некоторое вращение из группы R с углами Эйлера . В результате этого вращения точка сферы с координатами перейдет в новое положение и функции будут линейно выражаться через функции Матрица этого линейного преобразования и будет соответствовать вращению в том линейном представлении группы R, которое определяется функциями (113). Простая зависимость этих функций от угла показывает, что вращению вокруг оси Z на угол а, т. е. вращению соответствует при этом диагональная матрица

Обозначим вообще через элементы матрицы, соответствующей определенному вращению причем значки i и k пробегают ряд значений

Возьмем за вращение вокруг оси Y на угол , в результате которого точки сферы с координатами и 0 перейдут в точки . Принимая во внимание вид функций (113), можно утверждать, что при сделанном выборе матрица преобразует функции в функции т. е.

Обращаясь к формулам (12), мы видим, что обращаются в нуль при если Полагая в предыдущих формулах будем иметь, таким образом,

Отсюда видно, что элементы столбца матрицы с номером вообще говоря, все отличны от нуля, т. е. среди них есть равные нулю только при исключительных значениях .

Итак, среди матриц есть диагональные матрицы (114) с различными элементами и есть матрицы, у которых элементы некоторого столбца все отличны от нуля. Как мы видели в [III, 69], при этом матрицы дают неприводимое представление группы R, и можно поэтому утверждать неприводимость представления, доставляемого матрицами Функции (113) попарно ортогональны, но не нормированы к единице для интегралов от квадрата модуля. Приписывая к функциям подходящим образом выбранные постоянные множители, можно построить и нормированные функции:

Они дадут уже унитарное неприводимое представление эквивалентное причем в этом новом представлении вращению будет соответствовать прежняя матрица (114), так как постоянные множители, приписанные нами, не изменят характера зависимости функций (113) от

Умножая функции (115) на любые множители, по модулю равные единице, мы получаем также унитарные представления с тою же матрицей

(114), соответствующей вращению Одно из этих представлений в точности совпадает с тем, которые мы построили другим путем в

Собственные функции уравнения Шредингера, рассмотренные ранее, распадаются на группы в соответствии со значением числа причем в такую группу входит собственных функций азимутальное квантовое число). Нумерация функций, входящих в такую группу, производится числом ( — магнитное квантовое число), принимающим значения Из вида функций (113) непосредственно следует, что

т. е. функция нашей группы является собственной функцией оператора

и число m есть соответствующее собственное значение. Кроме того, каждая из функций (113), как мы знаем, удовлетворяет уравнению

т. е. каждая из функций, входящих в упомянутую группу функций, является собственной функцией оператора

и соответствующее собственное значение равно Оператор лишь множителем h отличается от оператора составляющей количества движения на ось Z. Точно так же оператор (117) лишь множителем отличается от оператора квадрата момента количества движения.