37. Основная теорема.

В предыдущем был рассмотрен ряд случаев конформного преобразования односвязной области в полуплоскость или единичный круг, при этом мы имели как случаи ограниченной односвязной области (полукруг), так и случаи односвязной области, содержащей бесконечно далекую точку внутри себя (внешность эллипса, внешность двуугольника). Поставим общую задачу о преобразовании любой заданной односвязной области на плоскости например, в единичный круг на плоскости w или на полуплоскость. Исключим при этом два случая, а именно тот случай, когда данная область есть вся плоскость включая бесконечно далекую точку, и тот случай, когда эта область есть вся плоскость, за исключением одной точки, например бесконечно далекой точки. Во всех остальных случаях, как оказывается, всегда существует регулярная функция внутри заданной односвязной области преобразующая эту область в единичный круг Но мы можем затем при помощи дробно-линейного преобразования переводить этот единичный круг в самого себя и будем получать таким образом новые конформные преобразования области В в единичный круг. Отметим внутри нашей области некоторую определенную точку А, и пусть при преобразовании, совершаемом функцией

эта точка переходит в точку а, лежащую внутри единичного круга. Совершая над этим кругом подходящим образом выбранное дробнолинейное преобразование, мы можем всегда перевести точку а в начало, не меняя единичного круга [33]. Новое преобразование будет переводить точку А в начало. Кроме того, поворачивая единичный круг вокруг начала, мы можем достигнуть того, чтобы линейные элементы при переходе точки А в начало не поворачивались, т. е. чтобы f(z) была положительной величиной в точке А.

Таким образом, имея одно конформное преобразование области В в единичный круг, мы можем построить и бесчисленное множество таких преобразований, и среди них будет существовать такое преобразование, которое преобразует любую наперед заданную точку А внутри В в центр единичного круга и не меняет направлений в этой точке. Можно показать, что при этих дополнительных условиях функция, совершающая конформное преобразование, определяется уже единственным образом, а именно имеет место следующая, основная в теории конформного преобразования теорема:

Теорема Римана. Если В — некоторая данная односвязная область на плоскости z (за указанными выше двумя исключениями) некоторая точка внутри В, то существует одна определенная регулярная внутри В функция преобразующая В в единичный круг так, что переходит в начало и значение производной положительно.

Мы не приводим доказательства этой теоремы. Заметим, что функция, о которой говорится в ней, только в исключительных случаях выражается через элементарные функции. В дальнейшем мы займемся практически важным вопросом приближенного построения указанной функции.

Сделаем одно важное добавление к теореме Римана. Если граница области есть простая замкнутая кривая причем относительно функций входящих в ее параметрическое представление, предполагается лишь непрерывность, то будет непрерывной вплоть до границы l и будет преобразовывать эту границу в окружность Функция обратная будет регулярной внутри круга и непрерывной вплоть до окружности которую она будет преобразовывать в границу В.

Как указывалось выше, функция, совершающая конформное преобразование данной области В в единичный круг, определяется вполне лишь при наличии дополнительного условия, о котором говорится в формулировке теоремы Римана. Можно заменить это дополнительное условие другим, причем будем в дальнейшем считать, что наш контур области таков, что функция, совершающая конформное преобразование, непрерывна вплоть до контура. При этом можно использовать дробно-линейное преобразование единичного круга в самого себя с той целью, чтобы три заданные точки контура области В перешли в три заданные точки окружности единичного круга. При этом функция, совершающая конформное преобразование, определяется вполне. Можно формулировать дополнительные условия еще и другим образом, а именно: потребуем прежде всего, чтобы данная точка внутри В перешла в начало. После этого у нас остается еще возможность поворачивать единичный круг вокруг начала, и мы можем использовать этот поворот для того, чтобы заданная точка контура области В перешла в заданную точку единичной окружности, и, как можно показать, при этом функция определяется вполне.

Итак, при выполнении условий, гарантирующих непрерывность функции, совершающей конформное преобразование, вплоть до контура области можно вполне определить эту функцию, задавая произвольно соответствие трех точек контура области В трем точкам единичной окружности или задавая произвольно соответствие одной внутренней точки и одной точки контура области В таким же точкам единичного круга.

Если у нас имеются на плоскости две односвязные области то существуют, согласно теореме Римана, две регулярные функции:

которые преобразуют эти области в единичный круг Исключая из предыдущих равенств переменную мы придем к регулярной функции которая преобразует

При этом каждой точке будет соответствовать такая точка что точкам отвечает в силу (40) одно и то же Таким образом, существует конформное преобразование любых двух односвязных областей (за указанными двумя исключениями) друг в друга. При этом, конечно, можно ставить такие же дополнительные условия, какие мы указывали выше при преобразовании области в круг.

Отметим одно важное свойство функции преобразующей односвязную область в круг или в другую односвязную область.

Будем считать, что наши области суть однолистные области или — более общо — что они, хотя и могут налегать сами на себя, но не имеют внутри себя точек разветвления. При этом производная не может обращаться внутри области в нуль, так как обращение в нуль производной влечет за собой точку разветвления преобразованной области [23]. Заметим еще, что если возьмем функции то они при аналитическом продолжении внутри нашей односвязной области В не будут иметь особых точек и будут, следовательно, однозначными [18] и регулярными функциями внутри области.

Если мы имеем на плоскости не односвязную, а, например, двусвязную область: некоторое кольцо, ограниченное двумя замкнутыми кривыми, то его невозможно, очевидно, преобразовать конформно в односвязную область так, чтобы каждой точке кольца соответствовала определенная точка односвязной области и наоборот.

В случае многосвязной области имеет место одно обстоятельство, отличающее этот случай от случая односвязной области, а именно не всякие две области одной и той же связности могут быть конформно преобразованы одна в другую. Так, например, два кольца, ограниченных концентрическими окружностями, могут быть конформно преобразованы одно в другое в том лишь случае, если для обоих этих колец отношение радиусов ограничивающих их окружностей одно и то же.

Но и в случае многосвязной области существует возможность преобразовать любую область в область определенного типа, а именно: всякую -связную область можно преобразовать на плоскость с вырезами, которые имеют вид параллельных отрезков прямых, причем некоторые из этих вырезов могут выродиться в точку.

Прежде чем переходить к изложению приближенных методов построения функции, совершающей конформное преобразование, мы выведем аналитическое выражение для функций, дающих конформное преобразование единичного круга или верхней полуплоскости в область, ограниченную ломаной линией, т. е. в многоугольник. Формула эта часто встречается в приложениях.