42. Способ сопряженных тригонометрических рядов.

Укажем теперь другой способ приближенного построения функции, совершающей конформное преобразование односвязной области В на круг. В данном случае мы будем иметь это приближенное представление в виде полинома не на плоскости области В, как в предыдущем случае, - а на плоскости единичного круга . Для простоты будем считать, не ограничивая общности, что центр круга переходит в начало координат, которое лежит внутри В. Пусть

функция, которая преобразует единичный круг . Если контур В есть простая замкнутая кривая, то можно показать, что ряд (75) сходится равномерно во всем замкнутом круге С, включая его окружность. На этой окружности мы должны положить , где при этом получим уравнение контура Г нашей области В:

или, отделяя в коэффициентах вещественную и мнимую части можем написать уравнение контура в виде

В частности, мы можем считать вещественным, т. е. . Уравнения (77) дают параметрическое представление контура Г области В особого вида, а именно параметрическое представление в виде сопряженных тригонометрических рядов [25].

Назовем такое представление нормальным параметрическим представлением кривой. В комплексной форме это представление может быть написано в виде (76). Наоборот, имея нормальное параметрическое представление контура Г области в виде (76) или (77), мы можем построить и самую функцию, заменив в ряде на При этом, конечно, ряд (76) должен быть равномерно сходящимся. Таким образом, задача сводится к нахождению нормального параметрического представления контура Г заданной области В.

Предположим, что имеется уравнение контура Г в неявной форме, причем это уравнение имеет вид

где — некоторая постоянная и полином, содержащий лишь четные степени х и у. Уравнение (78) мы можем переписать в комплексной форме. Заметим для этого, что можно считать полиномом от двух аргументов:

так что уравнение (78) может быть переписано в форме

где заданные вещественные коэффициенты. По условию наша кривая Г симметрична относительно координатных осей, и, повторяя рассуждения, аналогичные тем, которые мы проводили в [39] при рассмотрении правильного многоугольника, можно показать, что в формулах (77) мы должны иметь , так что уравнение контура в комплексной форме мы должны будем искать в следующем виде:

где — вещественные коэффициенты, и, следовательно,

Непосредственным перемножением получим выражения

В каждом из написанных выражений суммирование по j и f совершается от 0 до лишь по тем значениям, которые удовлетворяют написанным внизу суммы равенствам. Подставляя выражения (82) в левую часть (79), мы должны, перемножая опять ряды и собирая члены с одинаковыми степенями приравнять нулю члены при различных степенях А Заметим при этом, что в формулах (82) коэффициенты при положительных и отрицательных степенях будут одинаковы и участвуют лишь четные степени . То же будет, очевидно, и при разложении левой части уравнения (79), так что нам придется приравнять нулю лишь свободный член и коэффициенты при для

Не проделывая всех вычислений в общем случае, заметим лишь, что мы получим, в силу первого из уравнений (82), систему уравнений вида

где некоторые определенные выражения, содержащие заданные коэффициенты и искомые Мы их не будем выписывать в общем случае. Перепишем предыдущую систему, оставляя в каждом уравнении слева лишь первое слагаемое и извлекая в первом уравнении корень квадратный, а остальные уравнения деля на

Разлагая радикал по биному Ньютона, получим

Будем решать эту систему по методу последовательных приближений, принимая за исходные следующие значения:

Подставляя выражения (85) в правые части равенств (84) и отбрасывая, все члены, содержащие выше, чем в первой степени, мы получим первое приближение:

причем, пользуясь выражениями можно показать, что все выражения (86) при достаточно больших значениях j будут равны нулю.

Подставляя выражения (86) опять в правую часть равенств (84) и отбрасывая те члены, которые содержат выше, чем во второй степени, мы будем иметь для коэффициентов второе приближение вида

причем опять все эти выражения будут нули при больших j и т. д. Можно показать, что полученные таким образом бесконечные ряды для будут сходящимися для всех , достаточно близких к нулю, и будут давать решение задачи.

Пример. Для разъяснения предыдущего метода рассмотрим пример, а именно найдем функцию, отображающую единичный круг на внутренность эллипса с уравнением:

В комплексной форме это уравнение может быть представлено в виде

и, непосредственно пользуясь формулами (82), получим бесконечную систему вида

Введем новые неизвестные р, полагая

Для них система (88) перепишется так:

Не обращая пока внимания на первое уравнение, мы можем решить остальные указанным выше методом последовательных приближений.

Таким путем, доходя до членов, содержащих , получим

причем все остальные будут равны нулю.

За начальные значения мы брали Подставляя полученные выражения для в правую часть первого из уравнений системы (90) и пользуясь формулой бинома Ньютона, получим для выражение с точностью до :

Зная согласно (89), можно построить :

Искомая функция, отображающая единичный круг во внутреннюю часть эллипса (87), будет приближенно представляться в виде