168. Обращение эллиптического интеграла.

Рассмотрев эллиптический интеграл, мы выясним теперь понятие об эллиптической функции. В некотором отношении эллиптические функции подобны

известным тригонометрическим функциям и являются их обобщением. Выясним прежде всего тот факт, что основные тригонометрические функции, например и, можно получить при помощи так называемого обращения интегралов. Рассмотрим элементарный интеграл

Величина интеграла и является функцией верхнего предела интеграла Будем рассматривать обратную функцию, т. е. будем рассматривать верхний предел как функцию величины интеграла и. Мы получаем, таким образом, однозначную, регулярную и периодическую функцию Говорят, что эта функция получается в результате обращения интеграла (24). Точно так же, если мы возьмем эллиптический интеграл первого рода

то в результате его обращения, как оказывается, получается аналитическая однозначная функция Эта функция не будет уже целой. Она будет дробной функцией, и, кроме того, она будет обладать уже не одним, а двумя существенно различными периодами. Мы выясним дальше этот вопрос более подробно. Сейчас мы остановимся на рассмотрении эллиптического интеграла первого рода в форме Лежандра

причем будем предполагать k числом вещественным и удовлетворяющим неравенству

Мы уже встречались с интегралом (25) при рассмотрении задачи конформного преобразования верхней полуплоскости на прямоугольник плоскости и [37]. Напомним относящиеся сюда основные результаты, лишь с некоторым изменением обозначений. Формула (25) дает конформное преобразование верхней полуплоскости z в некоторый прямоугольник ABCD плоскости и. Его сторона АВ лежит на вещественной оси, и вершины А и В имеют координаты

и

Длина стороны ВС определяется по формуле

Если мы в этой формуле введем вместо z новую переменную интегрирования по формуле где то, произведя замену, получим новое выражение для длины стороны ВС, которая, как и длина АВУ будет выражаться полным эллиптическим интегралом первого рода:

где число определяется из формулы

Число k называется обычно модулем интеграла (25), а число дополнительным модулем, причем имеем (29).

Будем совершать теперь аналитическое продолжение функции (25). Если, например, совершим аналитическое продолжение из верхней полуплоскоси в нижнюю, через отрезок вещественной оси, то полученная функция будет преобразовывать нижнюю полуплоскость тоже в прямоугольник, который получится из основного прямоугольника ABCD отображением в стороне ВСУ получаемой из упомянутого отрезка вещественной оси. Точно так же и дальнейшие аналитические продолжения из одной полуплоскости в другую будут давать нам значения и в виде прямоугольника плоскости получаемого из предыдущего прямоугольника при помощи отображения в той его стороне, которая соответствует отрезку вещественной оси, через который мы совершали аналитическое продолжение. Таким образом, вообще всевозможные аналитические продолжения функции (25) на плоскости дадут на плоскости и сетку одинаковых прямоугольников, которые заполнят всю плоскость и, нигде не налегая друг на друга. Каждому такому прямоугольнику будет соответствовать или верхняя или нижняя полуплоскость . На рис. 77 изображена эта сетка, причем

Рис. 77.

чем незаштрихованным прямоугольникам отвечает верхняя полуплоскость, а заштрихованным — нижняя полуплоскость. Наоборот, совершая аналитическое продолжение функции получаемой в результате обращения (25) вдоль некоторой линии мы должны лишь обращать внимание на то, какие стороны прямоугольника пересекает эта линия, и получаем на плоскости переход из одной полуплоскости в другую через соответствующие отрезки вещественной оси. Если мы, например, на плоскости и обойдем вокруг какой-либо вершины нашей сетки прямоугольников, то на плоскости z придем к прежним значениям .

Таким образом, мы видим, что функция есть однозначная аналитическая функция на всей плоскости и.

Рис. 78.

Точке лежащей на середине стороны CD основного прямоугольника, соответствует значение причем однолистная окрестность точки переходит в однолистную окрестность точки и отсюда видно [23], что наша функция имеет в точке простой полюс. Аналогичные точки будут в каждом прямоугольнике нашей сетки, т. е. есть дробная функция.

Покажем, наконец, что функция имеет вещественный период и чисто мнимый период Возьмем нашу сетку прямоугольников и составим из нее новую сетку более крупных прямоугольников, объединяя в один прямоугольник четыре прямоугольника, имеющих общую вершину (рис. 78). Этот большой прямоугольник имеет сторону, параллельную вещественной оси, длины и сторону, параллельную мнимой оси, длины

Рис. 79.

Переход от к или от к равносилен геометрически переходу в соседний четырехугольник, причем значение при этом переходе не меняется. Например (рис. 79), переход от к равносилен последовательным отображениям в прямых ВС и что дает на плоскости z два отображения в вещественной оси и приводит к прежнему значению z. Таким образом, мы имеем действительно двоякую периодичность функции выражаемую следующими формулами:

Полученная нами однозначная функция, ввиду ее некоторой аналогии с и, обозначается обычно следующим образом:

Мы встретим ее в дальнейшем. В результате обращения других эллиптических интегралов первого вида мы будем получать другие дробные двоякопериодические функции. Мы займемся сейчас общей теорией таких функций и некоторых связанных с ними функций, причем несколько изменим предыдущие обозначения.