73. Бесконечное произведение для функции ...

Вернемся к основному определению функции даваемому формулой (111), и будем для простоты рассуждений считать Множитель является, как мы знаем, пределом выражения [I, 38]

Заменяя промежуток ) конечным отрезком получаем таким образом следующий интеграл:

Надо ожидать, что при беспредельном возрастании этот интеграл будет стремиться к интегралу, входящему в правую часть формулы (111). В дальнейшем мы точно докажем это утверждение, а сейчас займемся теми следствиями, которые из него вытекают.

Вводя вместо t новую переменную по формуле можем переписать (128) в виде

Будем считать, что стремится к принимая целые положительные значения. Производя интегрирование по частям, получим

или, принимая во внимание, что внеинтегральный член обращается в нуль

Продолжая дальнейшее интегрирование по частям, будем иметь точно так же

и вообще получаем для интеграла (129) следующее выражение:

При беспредельном возрастании это выражение будет иметь пределом т. е.

или

Чтобы несколько преобразовать последнее выражение, умножим и разделим его на После этого мы можем переписать формулу (131) следующим образом:

или

При беспредельном возрастании целого числа написанное конечное произведение превратится в бесконечное произведение

Это бесконечное произведение построено точно по тому правилу, по которому строится бесконечное произведение Вейерштрасса [69], причем в данном случае и ряд

сходится при Таким образом, в первой части (132) последний множитель стремится к определенному конечному пределу (133).

Рис. 62.

Покажем теперь, что и переменная

стремится к определенному пределу. Для этого достаточно показать, что переменная

имеет конечный предел. Тот же предел будет, очевидно, и у переменной Рассмотрим ветвь равнобочной гиперболы лежащую в первом координатном углу. Число будет ординатой этой ветви при Величина равна, очевидно, площади, ограниченной. нашей гиперболой, осью ОХ и ординатами а сумма

представляет собою сумму площадей выходящих прямоугольников основания которых равны единице (рис. 62). Отсюда непосредственно вытекает, что разность (135) возрастает при возрастании . С другой стороны, эта разность будет, очевидно, меньше разности площадей

выходящих и входящих прямоугольников, а эта последняя разность равна, очевидно, Таким образом, наша переменная будет возрастающая, ограниченная переменная, и, следовательно она имеет предел.

Этот предел С называется обычно постоянной Эйлера. Его величина с точностью до седьмого десятичного знака выражается следующим числом:

Окончательно формула (132) дает нам в пределе

В правой части последней формулы стоит целая функция от z, имеющая простые корни Формула (137) установлена нами лишь на положительной части вещественной оси. В силу основного принципа аналитического продолжения можно утверждать, что она справедлива при всех z, и, таким образом, функция есть целая функция, а формула (137) дает ее представление в виде бесконечного произведения.

Мы доказали, что есть целая функция, и из этого непосредственно следует, что функция не обращается нигде в нуль, т. е. не имеет вовсе корней.

Пользуясь бесконечным произведением (137), мы легко можем доказать формулу (122) из [71]. Действительно, формула (137) дает нам непосредственно

или, в силу (93) из [67],

Далее, формула (119) дает нам, если заменить в ней z на

Подставляя это выражение в предыдущую формулу, получим формулу (122):

Нам остается теперь убедиться в том, что интеграл (128) при беспредельном возрастании целого числа стремится к интегралу (111), причем достаточно ограничиться тем случаем, когда . Установим прежде всего оценку разности

Нетрудно проверить, что функция

является первообразной для функции

и, следовательно,

Если , то подинтегральная функция положительна, и, следовательно, то же можно сказать и о левой части. Заменяя под интегралом на единицей, получим

или

Составим разность:

При беспредельном возрастании второй интеграл справа стремится к нулю, так как интеграл

сходится. Остается показать, что и первый интеграл стремится к нулю при . Фиксируем так, чтобы

где — произвольно заданное малое положительное число.

Мы можем написать

откуда в силу (138)

причем во втором интеграле справа мы заменили разность одним уменьшаемым. Подинтегральная функция в этом интеграле положительна и, расширяя промежуток интегрирования, получим

При больших первое слагаемое меньше у, и, следовательно, при всех достаточно больших

т. е. ввиду произвольной малости в формуле (139) первое слагаемое справа также стремится к нулю, т. е. действительно

Отметим еще некоторые следствия доказанных формул. Беря логарифмическую производную от обеих частей формулы (137), получим

Дифференцируем обе части:

Пользуясь формулой (130), докажем еще так называемую формулу удвоения:

Выражая функции при помощи формулы (130) и функцию при помощи формулы, которая получается из (130) заменой на получим

или

Но

и мы видим, что левая часть формулы (144) не зависит от г. Полагая , получаем

откуда и следует формула (143). Совершенно так же, как и выше, может быть доказана следующая более общая формула: