28. Главное значение интеграла (продолжение).

Понятие главного значения интеграла может быть определено и в случае криволинейного интеграла. Мы ограничимся рассмотрением интегралов типа Коши:

где L — замкнутый или незамкнутый контур плоскости комплексного переменного и — точка этого контура, не совпадающая с его концом, если контур L незамкнутый. Пусть s — длина дуги L, отсчитываемая от некоторой точки. Будем в дальнейшем считать, что в параметрическом уравнении контура функции имеют непрерывные производные до второго порядка. Положим, что точке соответствует значение Главное значение интеграла (158) мы можем определить как главное значение интеграла по вещественному переменному

где длина контура L, и мы можем считать, что находится внутри промежутка интегрирования. Совершенно так же, как и в [27], можно показать, что интеграл (158) существует, если функция удовлетворяет на L условию Липшица:

Пользуясь доказанной в [27] теоремой о замене переменных, нетрудно показать, что если в некотором параметрическом уравнении контура функции имеют непрерывные производные до второго порядка их то главное значение интеграла (158) сводится к главному значению интеграла

где — промежуток изменения параметра t и значение соответствует точке . Если тождественно равна единице, то для интеграла (158) мы имеем первообразную функцию и непосредственно получаем для случая замкнутого контура

причем всегда считаем, что интегрирование по замкнутому контуру происходит против часовой стрелки. Совершенно так же, как и в случае прямолинейного отрезка, можно утверждать, что при условии (160) формула (158) определяет функцию непрерывную во всех внутренних точках L, если это — незамкнутая кривая, и вообще во всех точках если это — замкнутая кривая. Имеет место, как и в случае отрезка, более точная теорема, доказанная И. И. Приваловым;

При наличии условия (160) функция удовлетворяет на замкнутой кривой L условию Липшица с тем же а, если и с любым показателем, меньшим единицы, если Если L — незамкнутая кривая, то же имеет место для на любой замкнутой дуге кривой, лежащей внутри

Докажем эту теорему для случая отрезка. Для контурных интегралов доказательство аналогично. Сделаем предварительно несколько замечаний об условии Липшица. Прежде всего нетрудно видеть, что условие Липшица

достаточно проверить для достаточно малых значений Действительно, пусть (162) установлено при где — некоторая положительная постоянная. Если то отношение

остается ограниченным, т. е.

где некоторая постоянная. Выбирая наибольшую из двух постоянных k и мы получаем условие Липшица для всех допустимых значений Пусть, далее, При значениях по модулю меньших единицы, мы имеем а потому, если удовлетворяет условию Липшица с показателем а, то тем более она удовлетворяет условию с показателем Положим, что две функции удовлетворяют условию Липшица с одним и тем же показателем а. Нетрудно видеть, что их сумма и произведение удовлетворяют также условию с тем же самым показателем. Для суммы это непосредственно вытекает из того, что модуль суммы меньше или равен сумме модулей, а в случае произведения мы можем написать

откуда и следует непосредственно наше утверждение о произведении.

Перейдем теперь к доказательству высказанной выше теоремы. Мы имеем

и

где удовлетворяет условию Липшица с некоторым показателем а. Положим, что принадлежит некоторому промежутку лежащему внутри Во втором слагаемом правой части множитель о удовлетворяет условию Липшица с показателем а, а второй множитель имеет ограниченную производную и тем самым удовлетворяет условию Липшица с показателем единица. Таким образом все произведение удовлетворяет условию Липшица с показателем а, и теорему достаточно доказать для функции

выраженной обычным несобственным интегралом.

Нам надо оценить модуль разности

считая достаточно малым. Выделим из промежутка интегрирования часть и оценим модуль интеграла (163) по этой части промежутка. Пользуясь условием (160), получим оценку

Интеграл от второго слагаемого можно представить в виде

Таким же образом можно поступить и с интегралом от первого слагаемого, и модуль интеграла (163) по промежутку будет иметь оценку , где некоторая постоянная. Остается оценить интеграл (163) по сумме промежутков Для этого представим подинтегральную функцию в виде

Пользуясь (160), получаем следующую оценку для интеграла от модуля второго слагаемого:

где некоторая постоянная. При этом надо иметь в виду, что написанный логарифм остается ограниченным по модулю при изменении S в упомянутом выше промежутке Остается оценить интеграл от первого слагаемого выражения (164) по сумме промежутков Займемся оценкой интеграла по одному первому промежутку. Для второго промежутка оценка будет буквально такой же. В силу (160) мы имеем следующую оценку для первого слагаемого выражения (164):

При изменении t на промежутке мы имеем и, следовательно, а поэтому

Таким образом, при изменении t в промежутке модуль первого слагаемого выражения (164) не превышает

и модуль интеграла от упомянутого первого слагаемого имеет оценку

Если то мы имеем требуемую оценку:

Таким образом, при нужная оценка разности (163) получена. Если то оценка имеет вид

и при разность (163) имеет оценку вида

где некоторые постоянные. Принимая во внимание, что

при растет слабее, чем любая отрицательная степень мы можем написать

где — любое число, удовлетворяющее условию и теорема доказана и для случая

Исследуем теперь поведение функции при приближении точки к концам отрезка, например к концу . Мы, как и выше, считаем, что со удовлетворяет условию Липшица с показателями а на всем замкнутом отрезке Положим сначала, что При этом мы можем продолжить функцию нулем для т. е. можем считать при При этом будет определена на некотором отрезке где и условие Липшица при указанном продолжении не нарушится. Интеграл

будет давать прежнюю функцию и, принимая во внимание, что точка находится внутри отрезка мы можем, на основании доказанного выше, утверждать, что удовлетворяет условию Липшица с показателем а (считаем ) и на любом отрезке где . Положим теперь, что

Мы можем написать

В первом интеграле числитель обращается в нуль при и этот интеграл дает функцию, удовлетворяющую условию Липшица с показателем а вплоть до Второе слагаемое правой части равно, как мы видели в [27]

Уменьшаемое в этой разности удовлетворяет условию Липшица с показателем единица вплоть до

Таким образом, окончательно в окрестности функция представляет собою сумму

где удовлетворяет условию Липшица с показателем а вплоть до Аналогично рассматривается и конец и в этом случае получается

где удовлетворяет условию Липшица вплоть до

Поведение вблизи концов отрезка рассматривалось и при более общих предположениях относительно Приведем только результат, доказательство которого можно найти в книге Н. И. Мусхелишвили «Сингулярные интегральные уравнения», содержащей впервые проведенное подробное исследование интегралов типа Коши.

Теорема. Пусть удовлетворяет условию Липшица с показателем а на любом замкнутом отрезке содержащемся внутри причем постоянная k может зависеть от выбора отрезка может беспредельно возрастать при или . Пусть, далее, вблизи концов а и b функция представима в виде

где с означает а или причем удовлетворяет некоторому условию Липшица вплоть до При этом удовлетворяет условию Липшица с показателем а, если и с любым показателем, меньшим единицы, если на любом замкнутом отрезке, лежащем внутри и в окрестности имеет вид

причем, если то удовлетворяет некоторому условию Липшица вплоть до , а если то

где удовлетворяет условию Липшица вплоть до знак относится к случаю , и знак к случаю

Это предложение имеет место и в том случае, если прямолинейный отрезок заменен любой достаточно гладкой дугой с концами и причем интегрирование ведется в этом случае по комплексной переменной t. Отметим, что если то имеет место указанный выше результат:

где удовлетворяет условию Липшица вплоть до