13. Степенные ряды.

Степенным рядом называется ряд вида

где и b — заданные числа. Выясним прежде всего область сходимости ряда (56). Для этого докажем следующую теорему:

Теорема Абеля. Если ряд (56) сходится в некоторой точке, отличной от то он сходится абсолютно во всякой точке z, которая ближе к b, чем т. е.

и сходится равномерно во всяком круге с центром b и радиусом , меньшим

Из условия теоремы следует, что ряд

сходится, и, следовательно, его общий член стремится к нулю при беспредельном возрастании номера. Мы можем поэтому утверждать, что существует положительное число N такое, что при всяком

Рассмотрим теперь некоторый круг с центром b и радиусом , меньшим, чем так что величину этого радиуса мы можем обозначить через

Для всякого z, принадлежащего этому кругу мы имеем

Рис. 8.

Оценим в круге члены ряда (56). В силу (57) и (58) можно написать

откуда непосредственно следует, что в круге члены ряда (56) по модулю меньше членов убывающей геометрической прогрессии, составленной из положительных чисел, т. е. ряд (56) сходится в круге абсолютно и равномерно. Очевидно, что всякую точку , которая расположена ближе к чем мы можем считать находящейся в некотором круге и, следовательно, по доказанному во всякой такой точке ряд (56) сходится абсолютно. Теорема Абеля доказана полностью. Выясним теперь некоторые следствия этой теоремы.

Следствие I. Если ряд (56) расходится в некоторой точке , то он, очевидно, расходится и во всякой точке, которая отстоит от дальше, чем Действительно, если бы он сходился в такой точке, то по теореме Абеля он должен был бы сходиться и в точке Мы можем, таким образом, сказать, что для ряда (56) имеет место следующий факт: из его сходимости в некоторой точке следует его абсолютная сходимость внутри окружности, проходящей через эту точку и имеющей центр b, и из его расходимости в некоторой точке — его расходимость вне окружности, проходящей через эту точку и имеющей центр b.

Может случиться, что ряд (56) сходится на всей плоскости z, а также что он сходится только при . В последнем случае он сводится к одному слагаемому

Если исключить эти случаи, то из сказанного выше следует что для всякого ряда (56) существует такое положительное число что ряд сходится абсолютно при и расходится при причем во всяком круге радиуса, меньшего R, т. е. при сходимость ряда (56) равномерная. Число R называется радиусом сходимости ряда (56). В исключенных выше двух случаях считают обычно (сходимость на всей плоскости) или (сходимость только в точке ). При сходимость на всей плоскости абсолютная и во всяком конечном круге равномерная.

Заметим, что предыдущее рассуждение не дает нам равномерной сходимости во всем круге сходимости, но лишь в любом концентрическом круге меньшего радиуса. Мы будем выражать этот факт, говоря просто, что ряд (56) равномерно сходится внутри своего круга сходимости. Вообще будем называть какой-либо ряд равномерно сходящимся внутри области В, если ряд равномерно сходится в любой замкнутой области лежащей вместе со своим контуром внутри В. Отметим, что из приведенного выше доказательства следует, что и ряд с общим членом равномерно сходится внутри круга сходимости ряда (56).

Следствие II. Из равномерной сходимости ряда (56) и теоремы Вейерштрасса [12] следует, что сумма ряда есть регулярная функция внутри круга сходимости и что этот ряд можно почленно дифференцировать сколько угодно раз внутри упомянутого круга. Как равномерно сходящийся ряд его можно и почленно интегрировать. Кроме того, в силу абсолютной сходимости степенные ряды вида (56) можно перемножать как полиномы внутри того круга, где они оба сходятся.

Из предыдущего непосредственно вытекает, что почленное интегрирование и дифференцирование ряда (56) не нарушают во всяком случае его сходимости внутри круга сходимости, т. е. ряды

имеют радиус сходимости во всяком случае не меньший, чем ряд (56). Нетрудно видеть, что этот радиус сходимости рядов (59) не может быть и больше, чем радиус сходимости R ряда (56). Действительно, положим, например, что радиус сходимости ряда (590 будет больше т. е. что . Дифференцируя этот ряд, мы, как только что упомянули, не уменьшаем его радиуса сходимости и возвращаемся к ряду (56), и, следовательно, что противоречит . Мы можем, таким образом, утверждать, что почленное дифференцирование и интегрирование ряда (56) не меняют его радиуса сходимости.

Отметим в заключение, что во всем предыдущем ничего не говорилось о сходимости ряда (56) на самой окружности его круга сходимости. Этот вопрос мы рассмотрим несколько позже.