89. Дальнейшее исследование сходимости.

Как мы уже упоминали, степенной ряд (28) равносилен рядам (29) от переменных Рассмотрим внутреннюю сумму в рядах (29):

Собирая в этой сумме подобные члены, мы можем представить ряды (29) как обычные степенные ряды от переменных Если в суммах (50) заменим все величины их модулями и числа заменим на то это, очевидно, вполне равносильно тому, чтобы в только что упомянутых степенных рядах заменить все величины их модулями. Отсюда следует, что если ряды (29) привести к виду обычных степенних рядов, относительно переменних то абсолютная сходимость этих рядов равносильна сходимости рядов (32), т. е. равносильна абсолютной сходимости ряда (28).

Вообще сходимость ряда (28) в самом общем смысле этого слова сводится к существованию предела последовательности матриц

при беспредельном возрастании Добавление одного слагаемого, соответствующего к сумме (51) сводится к добавлению к суммам

однородного полинома относительно

степени .

Таким образом, сходимость ряда (28) в указанном только что общем смысле равносильна сходимости рядов (29), причем в рядах объединяются в одну группу слагаемые вида (53).

Докажем теперь основную теорему о сходимости или расходимости степенного ряда в смысле предела сумм (51) при , т. е. о сходимости соответствующих степенных рядов от элементов или о расходимости хотя бы одного из этих рядов.

Теорема. Ряд

сходится, если все характеристические числа матрицы X лежат внутри круга сходимости ряда

Ряд (54) расходится, если хотя бы одно из этих характеристических чисел лежит вне круга сходимости ряда (55).

Введем для краткости письма обозначения

и суммы рядов обозначим, как и выше,

Докажем сначала теорему для матриц X с простыми элементарными делителями [IXX, 27], т. е. для матриц вида

где X — характеристические числа X и - некоторая неособая матрица, т. е. матрица с определителем, отличным от нуля. Подставляя (56) в , получим [111, 44]

ИЛИ

откуда

Если все X лежат внутри круга сходимости ряда (56), то правая часть (57) имеет предел при , и мы получаем

Положим теперь, что по крайней мере одно из , например лежит вне круга сходимости ряда (57). При этом не имеет конечного предела при и из (57) следует, что не имеет конечного предела. Теорема доказана для матриц X вида (56).

Положим теперь, что матрица имеет не простые элементарные делители. Как доказано в добавлении к этому тому и сформулировано в произвольная матрица приводится к виду

где матрица в квадратных скобках обозначает квазидиагональную матрицу. Обозначая через порядок матрицы , имеем

Матрица есть матрица, у которой на главной диагонали стоят числа под главной диагональю — единицы, а остальные элементы равны нулю:

Если , то . Среди чисел могут быть и одинаковые. Напомним, что для квазидиагональных матриц одинаковой структуры имеют место обычные формулы сложения и умножения [III, 26]:

где s — целое положительное. Принимая это во внимание и учитывая, что многочлен, получим

Переходим к определению вида матриц Можно написать

где единичная матрица порядка матрица порядка у которой под главной диагональю стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю. Легко проверить, что при и целом есть матрица, у которой стоят единицы на диагонали ниже главной, а на прочих местах стоят нули. В частности, есть матрица у которой в левом нижнем углу стоит единица и остальные элементы равны нулю. Матрица где - целое, есть нулевая матрица, т. е. матрица, у которой все элементы

равны нулю. Отметим еще, что к сумме (60) применима формула бинома Ньютона:

откуда, как легко видеть, следует

причем, очевидно,

есть нулевая матрица, если m больше наименьшего из двух чисел l и Принимая во внимание вышесказанное, будем иметь

Если все находятся внутри круга сходимости ряда (55), то существуют конечные пределы

Переходя к пределу в формуле (59), получим

где определяются формулой (61), в которой надо заменить на Если хотя бы одно из расположено вне круга сходимости ряда (55), то расходимость ряда получается так же, как и в случае простых элементарных делителей. Теорема полностью доказана, и установлена формула для суммы ряда (54), когда расположена внутри круга сходимости ряда (55).

Легко проверить, что при матрица имеет

один элементарный делитель . Отсюда следует, что если

то элементарные делители суть

Запишем значения функции и ее производных, которые входят в формулу

Здесь, напомним, q — число элементарных делителей матрицы X, а группа чисел (62) соответствует элементарному делителю матрицы X. В силу (58) число значений (62) равно порядку матрицы X. Если среди элементарных делителей есть делители с совпадающими числами , то и среди значений (62) будут совпадающие. Если, например, то среди значений (62) будет во всяком случае два раза фигурировать а может быть, и некоторые производные при Считая, что среди чисел есть совпадающие, выделим из них лишь несовпадающие значения. Обозначим через все различные собственные значения X и наибольший из показателей элементарных делителей, соответствующих собственному значению если таких делителей несколько. Если имеется только один такой делитель, то совпадает с соответствующими . При таком обозначении несовпадающие значения из таблицы (62) будут следующие:

Если матрица X имеет различных собственных значений то вместо (630 имеем

Если матрица X имеет кратные собственные значения, но всем им соответствуют простые элементарные делители и полный набор различных собственных значений то вместо (63.2) имеем

Значения (63 (632), (633) называются значениями на спектре матрицы X (Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц, «Наука», 1966).

Из формулы (61) после замены на и из формулы следует, что для двух степенных рядов матрицы совпадают при указанном выше условии сходимости соответствующих степенных рядов при если совпадают значения на спектре X. Этим обстоятельством можно воспользоваться для того, чтобы по функции и матрице X построить полином Р(X) такой, что Для этого достаточно построить так, чтобы его значения совпадали со значениями на спектре X, т. е. со значениями, приведенными в одном из случаев (63). Возникающая задача является задачей интерполирования, к которой мы и перейдем.