§ 3. ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА И ЛАГЕРРА

157. Линейный осциллятор и полиномы Эрмита.

Уравнение Шредингера, как известно, имеет вид

Будем считать, что функция зависит только от и что потенциал V определяется формулой что соответствует случаю упругой силы Мы приходим, таким образом, к уравнению вида

и значения параметра Е должны определяться из того условия, что решение уравнения остается конечным во всем промежутке — со Введем две новые постоянные:

Из них является заданной и X играет роль параметра вместо Е. Уравнение перепишется в виде

Это линейное уравнение имеет иррегулярную особую точку . Будем поступать так же, как это мы делали в [116], а именно положим

и определим функцию из того условия, чтобы в коэффициенте при искомой функции в дифференциальном уравнении уничтожился член, содержащий Дифференцируя и подставляя в уравнение (2), получим для уравнение

и, чтобы избавиться от слагаемого мы положим

причем знак минус выбран нами для того, чтобы получить затухание при . Получаем, таким образом,

где для имеет место уравнение

Если при некотором выборе значений параметра X это уравнение будет иметь решение в виде полинома, то при этом функция будет, очевидно, затухать на бесконечности и, следовательно, удовлетворять поставленным предельным условиям. Мы будем, таким образом, искать решение уравнения (4) в виде полиномов. Введем вместо новую независимую переменную

отсюда

и, подставляя в уравнение (4), будем иметь следующее уравнение для и:

Начало координат является обыкновенной точкой для этого уравнения, и можно искать решение его в виде обычного степенного ряда:

с произвольными двумя первыми коэффициентами Подставляя в уравнение (5), получаем соотношение для последовательного определения коэффициентов

откуда

Покажем теперь, каким образом можно получить решение уравнения в виде полинома степени . Будем считать, что параметр X выбран из условия

т. е.

При этом формула (6) даст нам последовательно

Если — число четное, то мы положим, кроме того, . В силу (6) мы будем иметь при этом , а все с четными значками до включительно будут отличны от нуля, а остальные — нули в силу (8). Если же — нечетно, то надо, наоборот, положить Мы получаем таким образом решение в виде полиномов, причем формула (7) дает соответствующие собственные значения параметра X. Подставляя эти собственные значения в уравнение (5) и обозначая через введенные полиномы, получаем для них дифференциальное уравнение вида

Согласно (3), для функций будем иметь

Полиномы называются обычно полиномами Эрмита, а функции (10) — функциями Эрмита.

Для функций Эрмита мы имеем уравнение (2), где мы должны только перейти от переменной к переменной . После этого уравнение примет вид

Выведем теперь одну простую формулу для полиномов Эрмита. Положим откуда Дифференцируя это равенство раз и применяя к производной произведения формулу Лейбница, будем иметь

или

Введем новую функцию и покажем, что для нее имеет место уравнение (9). Функция есть, очевидно, полином степени от b

Подставляя выражение

в уравнение (12), получаем действительно для уравнение (9).

Таким образом, полиномы Эрмита, определенные пока лишь с точностью до произвольного постоянного множителя, совпадают с функциями (13). Заметим, что второе решение уравнения (9) не может быть полиномом, так как это уравнение имеет точку иррегулярной особой точкой. Для того чтобы получить положительный старший коэффициент, припишем к выражению (13) постоянный множитель и определим полином Эрмита следующей формулой:

Выпишем первые три полинома Эрмита:

Вообще будет содержать только четные степени S при четном и только нечетные степени при нечетном п. Это вытекает непосредственно из описанного выше метода определения коэффициентов Из формулы (14) вытекает, что старший коэффициент при в полиноме равен Это непосредственно следует из того, что дифференцирование показателя дает

Можно показать, на чем мы не останавливаемся, что функции Эрмита представляют собой совокупность всех решений уравнения (2), удовлетворяющих предельным условиям.