155. Волновое уравнение в цилиндрических координатах.

Рассмотрим теперь волновое уравнение

где

и будем искать его решение в виде произведения

Подставляя в уравнение (113), получаем для V уравнение вида

где

Уравнение (115) называется иногда уравнением Гельмгольца. Если мы возьмем какое-нибудь его решение, подставим в формулу (114) и отделим вещественную часть, то она даст вещественное решение волнового уравнения, которое в отношении зависимости от времени представляет собою гармоническое колебание частоты со. В отдельных случаях это решение может изображать стояяую волну, а в других случаях распространяющуюся волну. Выясним сначала эти понятия на простейших случаях. Если взять, например, произведение то его вещественная часть даст стоячую волну. Точно так же произведение дает тоже стоячую волну. Если же взять произведение то его вещественная часть даст синусоидальную волну, которая

распространяется в направлении оси X со скоростью . При применении функций Бесселя роль будут играть а роль будут играть

Вернемся к уравнению (115) и напишем оператор Лапласа в цилиндрических координатах, считая пока, что V не зависит от z [II, 131]:

Мы уже интегрировали такое уравнение при помощи разделения переменных раньше и знаем, что его решения имеют вид где любое решение уравнения Бесселя с параметром .

Считая целым, получаем однозначные решения. Если возьмем функцию Бесселя, то получим решения

вещественная часть которых

дает стоячую волну. Если для решения возьмем первую функцию Ханкеля, то, принимая во внимание асимптотическое выражение функции Ханкеля при большом аргументе, будем иметь, ограничиваясь первыми членами, следующее асимптотическое представление:

т. е. на бесконечности мы имеем распространяющуюся волну, фаза которой уходит на бесконечность. Про такие решения будем говорить, что они удовлетворяют принципу излучения. Если же мы вместо множителя взяли бы множитель то должны были бы для того, чтобы удовлетворить принципу излучения, в качестве второго множителя брать вторую функцию Ханкеля, так как согласно асимптотическому выражению мы имеем следующее асимптотическое равенство:

Рассмотрим теперь общий случай, когда функция V зависит и от координаты . Уравнение (115) будет при этом иметь вид [II, 131]

Ищем его решение в виде

Применяя обычный метод разделения переменных, найдем решение уравнения

где — любое решение уравнения Бесселя. Полагая и рассматривая случай однозначных решений целому положительному числу), мы будем иметь следующие решения:

и

Первое из этих решений остается конечным при и дает стоячую волну. Второе решение удовлетворяет принципу излучения. Решениями первого типа обычно пользуются в том случае, когда область, в которой происходят колебания, есть внутренняя часть цилиндра, содержащая ось Решения второго типа применяются для части пространства, находящегося вне цилиндра. В задачах дифракции приходится часто пользоваться и многозначными решениями, для которых не есть целое число.

Рассмотрим одну задачу частного вида. Уравнение (115) имеет очевидное решение созср. Умножая, его на получим решение которое представляет собою элементарную плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси X. Положим, что эта плоская волна имеет место не во всем безграничном пространстве, но лишь вне цилиндра причем на этом цилиндре должно быть выполнено предельное условие:

Чтобы удовлетворить этому предельному условию, мы должны добавить к решению уравнения (115) еще некоторое другое решение этого уравнения (добавочное возмущение, получаемое в результате дифракции), причем это добавочное решение должно обязательно удовлетворить принципу излучения и быть однозначным решением. Принимая во внимание сказанное выше и независимость основного решения от z, мы будем искать это добавочное решение, пользуясь показательными функциями вместо тригонометрических, в виде линейной комбинации решений вида (119) при

Нам надо только определить коэффициенты из предельного условия. Вспоминая формулу (37) и полагая там мы можем написать основное заданное решение с виде

В силу предельного условия мы должны иметь

и мы получаем для коэффициентов следующие выражения:

Окончательное решение задачи будет, следовательно, иметь форму:

Рассмотренная задача имеет применение в некоторых частных случаях дифракции электромагнитных волн относительно бесконечного проводящего цилиндра. Полученные ряды представляются практически удобными лишь в случае сравнительно большой длины волны.

Представляется интересным сравнить решение задачи о дифракции элементарной плоской волны с решением задачи о колебании круглой мембраны [II, 182]. Отметим прежде всего, что в рассмотренной только что задаче о дифракции плоской волны число k является данным (оно определяется частотой падающей волны ), тогда как в задаче колебания мембраны оно определялось из предельных условий. В задаче дифракции коэффициенты разложения определяются из предельного условия, а в задаче колебания мембраны коэффициенты разложения определялись из начального условия, т. е. из картины колебаний при . В задаче дифракции мы вовсе не имеем начального условия, так как мы рассматриваем не общую задачу дифракции любого начального возмущения, но лишь установившийся синусоидальный режим в отношении времени с заданной частотой .