§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

165. Приведение эллиптических интегралов к нормальному виду.

Мы будем рассматривать в настоящем параграфе некоторые функции комплексного переменного, которые не связаны с линейными дифференциальными уравнениями, а имеют несколько иное происхождение: эти функции в основном связаны с некоторыми интегралами, которые не выражаются в конечном виде, именно с так называемыми эллиптическими интегралами. Мы уже упоминали о таких интегралах раньше [I, 199]. Здесь мы начнем с рассмотрения этих интегралов. Раньше мы рассматривали интегралы вида

где рациональная функция своих аргументов некоторый полином второй степени. Мы видели, что такие интегралы выражаются через элементарные функции. Если же полином

третьей или четвертой степени, то интеграл вида (1) называется эллиптическим интегралом и он не выражается, вообще говоря, в конечном виде. В исключительных случаях он может все же выражаться через элементарные функции. Так, например, если мы возьмем интеграл

где — некоторое целое число, то, вводя новую переменную мы придем к интегралу вида

который, как мы знаем, выражается через элементарные функций. Если интеграл вида (1), где полином третьей или четвертой степени, выражается через элементарные функции, то его называют иногда псевдоэллиптическим.

Перейдем к исследованию эллиптических интегралов. Заметим прежде всего, что случай, когда есть полином третьей степени, не отличается принципиально от того случая, когда этот полином будем полиномом четвертой степени. Один случай переходит в другой при помощи простой замены переменной интегрирования. Действительно, положим, что есть полином четвертой степени

и пусть есть один из корней этого полинома. Введем вместо новую переменную t по формуле

Подставляя в выражение (2), получим

Раскрывая скобки и принимая во внимание, что есть корень полинома (2), будем иметь

где есть некоторый полином третьей степени. Таким образом мы можем переходить от случая полинома четвертой степени к случаю полинома третьей степени. Заметим, что преобразование (3) состоит, собственно, в том, что один из корней полинома (2), а именно корень в новой переменной обращается в корень

Наоборот, если полином третьей степени, то в результате дробно-линейного преобразования

мы получаем

где некоторый полином, вообще говоря, четвертой степени.

Рассуждая совершенно так же, как и в [I, 199], мы можем показать, что эллиптический интеграл (1) приводится к интегралам следующего вида:

и

где - некоторый полином. Предполагая, что есть полином третьей степени, мы покажем сейчас, что интегралы написанного выше вида приводятся к трем типам интегралов. Рассмотрим для этого интегралы вида

где k — некоторое целое число, положительное или отрицательное. Положим

Производя дифференцирование, будем иметь

откуда, интегрируя и принимая во внимание обозначение (6), получим

(С - произвольная постоянная), или

При и будем иметь

Эти последние формулы позволяют выразить последовательно через . Полагая в формуле имеем

откуда можем определить и т. д. Итак, все интегралы вида (6) при целом положительном k выражаются через и . Таким же свойством обладает, очевидно, и интеграл (4).

Обратимся теперь к интегралу (5). Вводя вместо новую переменную мы придем к интегралам вида

где некоторый полином третьей степени и k — целое отрицательное число. Полагая в формуле получим

где коэффициенты

Полагая затем получим

и т. д. Отсюда видно, непосредственно, что все интегралы вида (8) выразятся через т. е. в прежних обозначениях — через интегралы

Таким образом, окончательно можем утверждать, что если есть полином третьей степени, то всякий эллиптический интеграл сводится к интегралам следующих трех типов:

Первые из этих интегралов называются эллиптическими интегралами первого рода, вторые — эллиптическими интегралами второго рода и, наконец, третьи — эллиптическими интегралами третьего рода.

Заметим, что если исходный интеграл был вещественным, то предыдущие вычисления могли привести нас к формулам, содержащим комплексные числа. Так, при пользовании формулой (3) число могло оказаться и комплексным, если, например, полином имеет все четыре корня комплексными. Точно так же при разложении рациональной дроби на простейшие и приведении интеграла к виду (5) мы могли получить для а и комплексное значение. Мы не будем останавливаться на подробном выяснении того, как надо производить вычисление для того, чтобы иметь дело лишь с вещественными количествами, В дальнейшем мы будем отчасти учитывать это обстоятельство.