172. Дифференциальное уравнение для ...

Установив основные свойства функций Вейерштрасса, перейдем сейчас к более подробному изучению функции и, в частности, к установлению дифференциального уравнения первого порядка, которому эта функция удовлетворяет. Прежде всего выясним вид разложения функции вблизи точки которая является полюсом второго порядка для . Для этого обращаемся к основной формуле (41). Имеем вблизи

и, дифференцируя по и, получим

Отсюда в силу (41) будем иметь следующее разложение для вблизи начала:

При нечетном суммирование по будет содержать члены, попарно равные по величине и обратные по знаку, так что получим

где

Установим теперь вид разложений для Мы имеем, очевидно,

где в последних двух выражениях не выписанные члены содержат положительные степени . Отсюда

где опять невыписанные члены содержат положительные степени . Таким образом, для выражения, стоящего в левой части, точка уже не будет полюсом. Следовательно, это выражение будет эллиптической функцией, не имеющей вовсе полюсов в параллелограмме периодов, ибо единственными полюсами функции были точка и соответствующие вершины других параллелограммов. Поэтому выражение (55) (эллиптическая функция без полюсов) должно быть постоянной величиной. Но правая часть обращается в при и, следовательно, она тождественно равна т. е.

Введем обозначения:

Предыдущие вычисления приводят нас к следующей теореме:

Теорема. Функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

Числа и называются инвариантами функции

Функция имеет в параллелограмме периодов с основной вершиной один двойной полюс Остальные вершины параллелограмма мы уже не должны причислять к этому параллелограмму, и, следовательно, есть эллиптическая функция второго порядка, так что всякое уравнение а при любом заданном значении комплексного числа а имеет два корня в параллелограмме периодов.

Если то корень надо считать по крайней мере двойным. Но выше двойного он и не может быть, поскольку есть функция второго порядка, и, следовательно, в этом случае функция будет принимать значение а только в одной точке принадлежащей параллелограмму. Если то

уравнение будет иметь два различных простых корня в параллелограмме. Посмотрим теперь, где будут лежать те значения и, в которых Полагая в тождестве

или получаем в силу нечетности

т. е. обращается в нуль на серединах сторон и на середине диагонали параллелограмма с основной вершиной Введем в рассмотрение значение самой функции в этих точках:

Каждое из уравнений имеет двойной корень в соответствующей точке. Принимая во внимание, что есть функция второго порядка, можно утверждать, что числа различны.

Обратимся теперь к формуле (57). Правая часть этой формулы есть полином третьей степени от Полагая или мы видим, что этот полином обращается в нуль, если так как при указанной подстановке левая часть равенства (57) обращается в нуль, обращается в Разлагая полином на множители, можно, таким образом, переписать формулу (57) в виде

Сравнивая правые части формул (57) и (60), получаем связь между числами и инвариантами

Если положим то уравнение (57) можно переписать в виде

Принимая во внимание, что при мы имеем получим, разделяя переменные и интегрируя,

т. е. функция получается в результате обращения эллиптического интеграла первого рода Можно показать и наоборот,

что при любом выборе постоянных таких, что подрадикальный полином не имеет кратных корней, обращение интеграла (62) приводит к функции Вейерштрасса

Можно показать далее, что всякая эллиптическая функция с периодами является рациональной функцией от , так что совокупность рациональных функций от и представляет собою всю совокупность эллиптических функций с периодами .