92. Определение функций одной матрицы формулой Коши.

Пусть В — совокупность конечного числа замкнутых, односвязных и непересекающихся областей плоскости комплексного переменного ограниченных гладкими кривыми . Пусть, далее, X — матрица, все собственные значения которой лежат строго внутри областей функция, регулярная в замкнутых областях Определим формулой, аналогичной формуле Коши для

причем написанный интеграл применяется поэлементно по отношению к матричной функции, стоящей под знаком интеграла. Отметим, что согласно сказанному выше определитель матрицы не обращаегся в нуль на Контуры можно деформировать с сохранением этого условия, и, в частности, их можно перевести в окружности достаточно малого радиуса, окружающие различные собственные значения X. При этом число станет равным числу различных собственных значений X. В формуле (68) предполагается, что значения в различных областях вообще говоря, не связаны между собой, т. е. значения например, в могут не получаться из значений никаким аналитическим продолжением. Отметим еще, что для всех матриц, достаточно близких (поэлементно) к X, формула (68) также применима, поскольку все собственные значения этих матриц будут по-прежнему лежать внутри При этом элементы будут регулярными функциями элементов X. Кратко будем в дальнейшем говорить, что регулярная функция X, если элементы являются регулярными функциями элементов X. Отметим еще, что есть рациональная функция элементов X и переменной так что интегралы, входящие в (68), могут быть вычислены по теореме о вычетах, если известны собственные значения При дальнейшем изменении X мы имеем дело с аналитическим продолжением о чем мы будем говорить далее.

Если то, как мы упоминали выше, в определении в различных значения могут быть никак не связаны между собой. (Например, в одной из в другой.) Наиболее интересным и важным случаем является тот случай, когда или а функция в различных определяется на основе одной и той же аналитической функции причем принадлежат некоторой области регулярности на плоскости z. При этом функция называется аналитической, а в остальных случаях — кусочно-аналитической. Функция представимая формулой (68), не всегда представима степенным рядом. Но мы покажем сейчас, что всякая функция представимая степенным рядом, может быть представлена и формулой (68). Уточним это утверждение. Положим, что все собственные значения матрицы X лежат внутри круга регулярна в этом круге:

Пусть определяется рядом

Определим функцию формулой Коши

и докажем, что при указанных условиях. Положим сначала, что X имеет простые элементарные делители: Принимая во внимание очевидную формулу

получим

или, согласно формуле Коши,

Ту же формулу мы имели [89] и для функции представимой степенным рядом в случае (56). Следовательно,

Аналогичным образом проводится доказательство в случае формулы (564), соответствующей непростым элементарным делителям X. При этом надо использовать формулу

где

Для простоты письма ограничимся построением матрицы, стоящей под знаком интеграла, считая матрицей третьего порядка

Но легко проверить, что

Сказанное выше приводит нас к выражению согласно формуле (61), в которой заменено на . Такое же выражение было получено и для степенного ряда, т. е. в этом случае

Из сказанного выше следует также, что если значения двух функций на спектре X совпадают и эти функции регулярны

в окрестности спектра, то совпадают также значения и вычисленные по формуле (68) (где области малые круги, содержащие спектр). Отсюда следует возможность замены полиномом, как и в случае представления функции степенным рядом.

Сформулируем некоторые легко доказываемые свойства функций представимых формулой Коши. При этом всегда предполагается, что соответствующие функции регулярны в окрестности U собственных значений X.

3°. Если регулярна в регулярна в окрестности собственных значений т. е. при последовательном вычислении получится матрица

4°. Если - обратные функции, регулярные в окрестности соответственно собственных значений матриц то обратной к матричной функции является функция Эти функции определены и выражаются формулой Коши для всех матриц, достаточно близких соответственно к матрицам

Отметим в заключение, что если элементы матрицы Y суть аналитические функции элементов X, то в общем случае отсюда не следует представимость Y через X ни степенным рядом (28) [или (27)], ни формулой (68).