93. Аналитическое продолжение.

Выше мы определяли функцию или степенным рядом, или формулой Коши (68). В первом случае область определения совпадала с областью сходимости этого ряда, и во втором случае она определялась условием, что регулярна в областях и что все собственные значения X находятся внутри . В обоих случаях при соблюдении соответствующих условий элементы являются аналитическими функциями элементов Напомним, что степенной ряд, как было указано выше, преобразуется к формуле (68). Мы изложим кратко, без подробных доказательств, основные идеи, связанные с аналитическим продолжением заданной степенным рядом или формулой (68).

В [85] мы указали общий прием аналитического продолжения функции многих комплексных переменных вдоль заданного пути при помощи цепи кругов. Этот прием, очевидно, применим и для одновременного аналитического продолжения элементов матрицы как функций элементов матрицы X. Но в рассматриваемом случае процесс существенно проясняется, если использовать при аналитическом продолжении формулу Коши (68) или формулу Сильвестра [91], причем проводимое таким образом аналитическое продолжение совпадает с указанным выше общим приемом аналитического продолжения в силу единственности аналитического продолжения по заданному

пути. Этот последний определяется тем, что матрица X (т. е. ее элементы) задается как функция некоторого вещественного параметра При значениях близких к исходным, значения определяются первоначальным степенным рядом или формулой (68). При изменении будут меняться и собственные значения матрицы и характер этого изменения играет существенную роль как при аналитическом продолжении формулы Коши, так и в формуле Сильвестра. Как мы сейчас увидим, дело сводится к аналитическому продолжению с учетом изменения

Рассмотрим кратко те случаи, которые могут встретиться. Положим вначале, что при аналитическом продолжении получается однозначная функция в области В, в которой находятся все пути целая функция, то в качестве В можно взять всю комплексную плоскость.) При этом для некоторых возможны совпадения корней, т. е. Нумерация корней производится так, что непрерывные функции. После совпадения нумерация корней произвольна, с сохранением непрерывности. Для аналитического продолжения матричной функции в окрестности матрицы можно воспользоваться формулой Коши (68), где — число различных корней окружности достаточно малого радиуса, центрами которых являются различные корни

Аналитическое продолжение можно было бы также осуществить формулой Сильвестра. Однако ввиду зависимости этой формулы от жордановой структуры матрицы X значительно труднее установить регулярность для X с кратными собственными значениями.

Положим теперь, что хотя бы один из путей проходит при через особую точку функции Можно показать, что в этом случае матрица является особой точкой т. е. что невозможно аналитическое продолжение вдоль матричного пути через матрицу X.

Рассмотрим в качестве примера степенной ряд

соответствующий функции сходится, если собственные значения X лежат внутри круга Особыми точками при аналитическом продолжении будут те матрицы среди собственных значений которых будет хоть одно равно единице. Для всех прочих получим

Более сложная картина будет в том случае, когда аналитическое продолжение приводит к многозначной функции. Это продолжение определяется однозначно на римановой поверхности, соответствующей многозначной функции Если при в формуле

Коши значения функции в разных областях не являются ветвями одной аналитической функции, то под R будем понимать совокупность нескольких римановых поверхностей, построенных для всех регулярных функций из областей . При этом естественно пути считать также расположенными на R. Как и выше, особыми точками при аналитическом продолжении будут те матрицы ХY, у которых хотя бы одно из стремится к особой точке функции на

Однако теперь возможны и особые точки других типов. Положим, что первые три корня при имеют общий предел отличный от особой точки а пределы остальных различны и не совпадают ни с ни с особыми точками Если предел для всех находится на одном и том же листе т. е. если при аналитическом продолжении мы получаем один и тот же функциональный элемент (ряд Тейлора) в точке для всех при то матричное аналитическое продолжение через соответствующую матрицу возможно, как это имело место и для однозначной Это аналитическое продолжение осуществляется снова формулой Коши, которую теперь удобнее записать в виде

Здесь — число различных корней круги достаточно малого радиуса на комплексной плоскости, центрами которых являются различные корни соответствующие однозначные аналитические элементы функции

Если же хотя бы две из совпавших точек лежат на разных листах римановой поверхности, т. е. если им соответствуют несовпадающие аналитические элементы то формулой (69) воспользоваться нельзя. В этом случае, как будет пояснено ниже, является особой матрицей, т. е. невозможно матричное аналитическое продолжение вдоль рассматриваемого пути через матрицу

Поясним это утверждение для случая матриц второго порядка, причем мы считаем до перехода к пределу (и букву t при этом мы не пишем). Для имеем

причем значения на том листе R, где находятся в результате продолжения Если предельные точки для находятся на разных листах то функциональные элементы в точке неодинаковы. При

этом либо некоторые (или все) элементы будут беспредельно возрастать по абсолютной величине при либо в любой малой окрестности матрицы имеются такие матрицы что аналитическое продолжение по прежнему пути вплоть до и дальнейшему продолжению по некоторому новому пути, который не выводит из и вдоль которого некоторые (или все) элементы будут беспредельно возрастать по абсолютной величине. Ни один из этих фактов не мог бы иметь места, если бы матрица не была особой.

Покажем справедливость высказанного утверждения. При корни являются голоморфными функциями матрицы X. Поэтому формула (70) может служить для аналитического продолжения вдоль любого пути, для которого Предположим, что возможно аналитическое продолжение в окрестность матрицы Пусть при и предельные значения различны: Если у матрицы отличен от нуля один из элементов, не лежащий на главной диагонали, то при соответствующий элемент матрицы беспредельно возрастает. Пусть либо предельные значения одинаковы: либо диагональная матрица. В любой малой окрестности 8 матрицы найдется недиагональная матрица имеющая двукратное собственное значение Х такое, что Тогда при вдоль пути, для которого будет, как показано выше, беспредельно возрастать хотя бы один из элементов матрицы . В обоих случаях получается противоречие с существованием регулярного матричного элемента в окрестности матрицы

Если бы предельная точка для Х) и находилась на одном и том же листе R и в этой точке была бы регулярной функцией, то формула (70) в пределе дала

Аналогично рассматривается и случай матриц любого порядка. Если при в формуле Коши значения функции в разных областях не являются ветвями одной аналитической функции, то для предельной точки совпадение функциональных элементов заведомо невозможно. В этом случае матрица является особой.

Рассмотрим в качестве примера задание формулой (70) при , когда X — матрица второго порядка, круг и круг . Пусть в первом из них и во втором При этом, если находится внутри и Х — внутри то согласно (70)

Аналитическое продолжение возможно и определяется формулой (71), пока круги, в которых должны находиться и , не имеют общей части. В данном случае R состоит из двух изолированных плоскостей. Поэтому любая матрица X, для которой является особой матрицей для рассматриваемой функции.

То же самое получится и в общем случае, когда значение не получается никаким аналитическим продолжением функции из . Для функций этого типа любая матрица с кратными собственными значениями, расположенными на разных римановых поверхностях, является особой.

Рассмотрим еще один пример. Пусть многозначная аналитическая функция, определенная на некоторой римановой поверхности R, и начальный элемент определен степенным рядом или формулой Коши, а аналитическое продолжение таково, что вдоль него собственные значения ХЛ различны и при все они стремятся к причем точки регулярности Пусть матричная кривая представима в виде

причем -фиксированная матрица, не зависящая от t. Мы имеем (букву t не пишем)

где - соответствующие ветви многозначной функции Предельная матрица не зависит от S. Но если среди чисел будут различные, то предельные значения функции при будут зависеть от S:

и мы можем получить бесчисленное множество (континуум) предельных значений Таким образом, является при указанном аналитическом продолжении особой матрицей. Этот пример иллюстрирует сформулированное выше утверждение о том, что матрицы с кратными собственными значениями являются особыми точками матричной функции получаемой аналитическим продолжением, при котором некоторые из совпавших собственных значений оказываются на разных листах римановой поверхности функции Подчеркнем, что этот вывод существенно использует тот факт, что при аналитическом продолжении функция должна быть определена на множестве всех матриц фиксированного порядка в окрестности линии продолжения в вещественном пространстве Он теряет силу для функций, определенных на некотором подмножестве матриц, например на некотором подпространстве. Например, для подпространства диагональных матриц

особыми точками функции

будут лишь те матрицы X, для которых хотя бы один из диагональных элементов является особой точкой функции f(z).