163. Асимптотическое выражение полиномов Эрмита.

Функция Эрмита

удовлетворяет уравнению (11):

Рассмотрим случай четного значка. При этом мы получим

Кроме того, в силу (24), а также того обстоятельства, что есть полином от получим следующие начальные условия:

Уравнение (64) совместно с начальными условиями (65) даст нам возможность получить асимптотическое выражение полиномов Эрмита при большом п. Напомним прежде всего, что решение уравнения

удовлетворяющее нулевым начальным условиям имеет вид [II, 34]

Если вместо нулевых начальных условий имеем начальные условия

то мы должны к решению (67) добавить решение однородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (68), и окончательно решение уравнения (66), удовлетворяющее начальным условиям (68), будет

Обратимся к уравнению (64) и перепишем его в следующем виде:

Положим в данном случае Мы получим согласно формуле (69)

Можно показать, что при больших первое слагаемое, стоящее справа, дает главное значение функции Чтобы показать это, оценим интегральный член, стоящий справа, считая Применяя неравенство Буняковского, получим в силу (17)

и, подставляя в (70), будем иметь

где некоторая функция от удовлетворяющая условию

Вынося за скобки (0) и принимая во внимание его выражение (65), будем иметь

Рассмотрим ближе множитель, стоящий при

Если положить

то, как известно [I, 100],

причем, очевидно, т. е.

или

откуда

и окончательно коэффициент при будет

где Отбрасывая множитель, меньший единицы, можно написать предыдущее выражение в виде

где Подставляя это выражение в формулу (71), будем иметь следующее асимптотическое представление функций Эрмита с четным значком:

где . Таким образом, при заданном второе слагаемое в квадратных скобках стремится к нулю при возрастании значка . Допущение как нетрудно проверить, — несущественно. Добавляя множитель получим асимптотическое выражение полиномов Эрмита с четным значком:

Для случая нечетного значка точно так же можно получить

В этих формулах обозначает такую величину, что остается ограниченным при возрастании если находится в любом ограниченном промежутке своего изменения. Заметим, что под знаком тригонометрических функций мы можем брать любой аргумент , где а — заданное вещественное число. Действительно, мы имеем, например:

Если находится в ограниченном промежутке, то это последнее произведение будет величина и, следовательно, с точностью до такой величины можно заменить на . Пользуясь предыдущими вычислениями, можно дать и более точную оценку дополнительных членов