44. Примеры.

I. Все примеры изотермических сеток, которые мы приводили раньше, можно теперь истолковать с точки зрения гидродинамики, причем, как было только что указано, каждый такой пример даст две гидродинамические картины.

Перейдем теперь к рассмотрению некоторых новых примеров. Начнем со случая элементарной функции

где а — некоторая точка на плоскости и А — вещественная постоянная. В данном случае эквипотенциальные линии будут окружности с центром а, и линии тока будут прямые, выходящие из этой точки. При обходе этой точки функция приобретает постоянные слагаемые и, таким образом, мнимая часть комплексного потенциала (функция тока) будет приобретать слагаемые , т. е. будем иметь в точке а источник интенсивности

Вектор скорости будет определяться комплексным числом

Если обозначить через и модуль и аргумент комплексного числа , то вектору скорости будет соответствовать комплексное число .

Отсюда, между прочим, непосредственно следует, что при приближении к источнику скорость будет стремиться к бесконечности и что при положительном А эта скорость будет направлена от источника на бесконечность т. е. мы будем иметь в данном случае именно источник, а не сток.

Рассмотрим теперь более общую функцию

где а и b — две различные точки плоскости и А — вещественная постоянная. В данном случае изотермическая сетка будет определяться уравнениями

Как мы знаем, первому из этих уравнений соответствует семейства окружностей, относительно которых а и b суть симметричные точки, а второму уравнению — семейство окружностей, проходящих через точки а и . В данном случае мы будем иметь в точке а источник интенсивности , а в точке b — сток такой же интенсивности.

II. Положим, что точки а и b находятся в точках и вещественной оси, и возьмем . При этом функция (98) будет иметь вид

Переходя к пределу при мы получим комплексный потенциал, характеризующий так называемый диполь в начале координат:

Как нетрудно проверить (рис. 45), в данном случае изотермическая сетка будет состоять из окружностей, проходящих через начало координат и касающихся оси Y (эквипотенциальные линии), и из окружностей, проходящих через начало и касающихся оси X (линии тока) [33].

III. Рассмотрим функцию

где А, как и раньше, — вещественная постоянная. В этом случае линиями тока будут окружности с центром а, а прямые, выходящие из точки будут эквипотенциальными линиями. При обходе точки а в положительном направлении вещественная часть (потенциал скорости) получит приращение — и мы будем иметь в точке А элементарный вихрь интенсивности — .

IV. Возьмем функцию

которую мы уже исследовали в [35].

Отделяя вещественную и мнимую части, получим уравнение линий тока в виде

или

В общем случае это будут некоторые кривые третьего порядка. В частном случае, при имеем окружность . Будем рассматривать только часть плоскости вне упомянутой окружности.

Рис. 45.

Мы можем сказать, что одна из линий тока будет состоять из отрезков оси и упомянутой окружности. Мы имеем, таким образом, в данном случае течение жидкости вне окружности с обтеканием этой окружности. Вычисляя производную

видим, что скорость течения на бесконечности равна (k считается вещественным) и что эта скорость равна нулю в точках , т. е. в тех точках, где прямолинейные отрезки линий тока выходят на окружность.

Добавим к нашей функции логарифмический член и составим таким образом новую функцию

Рис. 461.

Рис. 462.

Рис. 463.

Мнимая часть второго слагаемого также сохраняет постоянное значение на упомянутой выше окружности, т. е. эта окружность и в случае комплексного потенциала (100) является одной из линий тока, но только в рассматриваемом случае при обходе вокруг этой окружности потенциал скорости получает дополнительное слагаемое , т. е. в случае потенциала (100) мы имеем обтекание нашей окружности при наличии элементарного вихря. На рис. 461 и 462 изображен вид линий тока при различных значениях постоянной .

В случае течения, изображенного на рис. 462, точки входа и выхода линии тока на обтекаемой окружности сливаются.

V. Как мы видели раньше [35], для функции изотермическая сетка будет состоять из софокусных эллипсов и гипербол с фокусами ±k на вещественной оси. Эта сетка изображена на рис. 47. Если за линии тока взять гиперболы, то получим картину течения через отверстие на вещественной оси. Если же за линии тока взять эллипсы, то получится картина обтекания эллипса или отрезка .

VI. Часто при исследовании гидродинамической картины бывает удобнее задавать не комплексный потенциал а обратную функцию Рассмотрим один пример такого рода. Пусть комплексный потенциал задан обратной функцией

Отделяя вещественную и мнимую части

мы будем иметь

Полагая , получим уравнение линий тока в параметрической форме:

где — переменный параметр.

Рассмотрим две линии тока, а именно линию тока, соответствующую и линию, соответствующую В первом случае будем иметь

Как нетрудно видеть, в данном случае линия тока будет представлять собою двойной отрезок прямой Точно так же при получим двойной отрезок прямой . Кроме того, очевидно, что при линией тока будет служить сама ось . На рис. 48 изображены линии тока для настоящего случая.

Рис. 47.

Рис. 48.