166. Приведение интегралов к тригонометрической форме.

Мы будем рассматривать сейчас лишь эллиптические интегралы первого и второго рода и покажем, что их можно привести к новой форме, в которой подинтегральная функция содержит тригонометрические функции. Начнем с интеграла первого рода. Мы можем, конечно, считать, что старший коэффициент равен ± 1:

Положим сначала, что этот полином с вещественными коэффициентами имеет три вещественных корня: . Мы должны, конечно, считать, что среди этих корней нет одинаковых, так как в противном случае полином содержал бы квадратный множитель который мы могли бы вынести за знак квадратного радикала, и, таким образом, у нас остался бы под знаком радикала лйшь полином первой степени. Будем считать, что а есть наименьший корень, если при стоит знак и наибольший корень, если при стоит знак (—). Пусть, далее, обозначает средний по величине корень. Вместо х введем новую переменную по формуле

Подставляя это выражение в наш полином

будем иметь после несложных вычислений

где

причем, согласно нашему выбору корней, это число заключается всегда между 0 и 1, и мы всегда считаем Мы имеем, далее, в силу (10)

и, следовательно, выражение

лишь постоянным множителем отличается от выражения

Покажем, что мы можем прийти к тому же результату, когда полином с вещественными коэффициентами имеет только один вещественный корень . В этом случае можно представить этот полином в виде

где трехчлен с вещественными коэффциентами не имеет вещественных корней и, следовательно, остается всегда положительным при вещественных значениях . В данном случае введем вместо новую переменную по формуле

Производя подстановку, будем иметь

где

Покажем, что это число заключается между 0 и 1. Для этого достаточно показать, что второе слагаемое внутри круглых скобок в выражении (15) по абсолютной величине будет меньше единицы, т. е. достаточно показать, что квадрат знаменателя будет больше квадрата числителя. Мы имеем, очевидно,

Но второе слагаемое справа будет наверно положительным, так как по условию трехчлен имеет мнимые корни, и, таким образом, мы получаем

Далее из выражения (14) вытекает

и, следовательно, и в данном случае в результате преобразования выражение (12) будет лишь постоянным множителем отличаться от выражения (13).

Итак, мы видим, что всякий вещественный интеграл первого рода при помощи вещественного преобразования может быть приведен к виду

Обратимся теперь к интегралу второго рода

Применяя одно из предыдущих преобразований, мы приведем этот интеграл к интегралу (16) и интегралу одного из следующих двух видов:

Добавляя к первому интегралу постоянный множитель можно представить его в виде

и, таким образом, он сводится к интегралу вида (16) и еще к интегралу следующего вида:

Покажем, что второй из интегралов (17) приводится к первому интегралу (17). Воспользуемся для этого следующей формулой, которую нетрудно проверить простым дифференцированием:

Интегрируя это тождество, мы получаем искомый результат:

Мы видим, таким образом, что эллиптические интегралы первого и второго рода приводят к интегралам следующих двух типов:

Эти интегралы называются иногда эллиптическими интегралами первого и второго рода в форме Лежандра.

Можно написать интегралы (19) несколько в иной форме, если ввести вместо новую переменную t по формуле

При этом

первый из интегралов (19) приводится к следующему виду:

Здесь мы имеем под знаком радикала полином четвертой степени особого вида. Мы могли бы, исходя из эллиптического интеграла общего вида, прийти именно к такому полиному под знаком радикала, если бы воспользовались заменой независимой переменной в виде общего дробно-линейного преобразования

Напишем интегралы (19) с нижним пределом, равным нулю, и с переменным верхним пределом, вводя специальные обозначения:

Если верхний предел имеет значение то величины этих интегралов будут функциями только от

и эти интегралы называются обычно полными эллиптическими интегралами первого и второго рода.

Существуют таблицы для значений как интегралов (20), так и интегралов (21). Первыми по времени являются таблицы Лежандра,

опубликованные в 1826 г. Между прочим, в этих таблицах имеются значения логарифмов величин (21) при различных значениях k; при этом полагают и значения б даются через каждую десятую часть градуса. Основная таблица с двойным входом дает значение интегралов (20), где, как и выше, положено . Эта таблица содержит значение интегралов с девятью десятичными знаками для и 0 от 0 до 90° через один градус. Укажем еще на книгу Янке и Эмде «Таблицы функций с формулами и кривыми», содержащую также таблицы эллиптических интегралов.