109. Различный выбор решений.

Укажем некоторые приемы выбора Определяющее уравнение в регулярной особой точке

имеет корни . Если не целое положительное, то одно из решений уравнения будет целой функцией, ряд Маклорена которой имеет свободный член, отличный от нуля. Укажем выбор пути при котором формула (122) дает такое решение.

Подинтегральная функция в выражении (122) имеет особые точки которые будут точками разветвления, так как и q будут, вообще говоря, числа не целые. При обходе вокруг точки в положительном направлении, упомянутая подинтегральная функция получит множитель , а при обходе точки она получит множитель . В дальнейшем мы будем считать, что и q суть числа не целые.

Возьмем некоторую точку плоскости, лежащую на конечном расстоянии и отличную от и обозначим через и замкнутые контуры, выходящие из и обходящие вокруг точек

Обозначим символически через контур, который состоит из следующих последовательных обходов: обхода по в положительном направлении, обхода по в положительном направлении, обхода по в отрицательном направлении и обхода по в отрицательном направлении. В результате первого обхода функция (123) получит множитель . После второго обхода она получит множитель после третьего обхода — множитель и, наконец, после четвертого обхода — множитель Таким образом, окончательно вернувшись в точку мы будем иметь для левой части (123) ту же самую ветвь, которую мы взяли, отправляясь из и, таким образом, принимая за l контур мы удовлетворим условию (123), и формула (122) даст нам решение уравнения. Заметим при этом, что если бы мы взяли за контур l замкнутый контур, не содержащий внутри себя особых точек и подинтегральной функции, то эта функция, конечно, тоже вернулась бы к исходному значению, но, согласно теореме Коши, интеграл (122) по такому контуру был бы равен нулю и мы не получили бы решения уравнения (112). В данном случае мы подобрали контур так, что, обходя вокруг особых точек, мы все же вернулись к исходной ветви функции.

Имеем, таким образом, решение

Переменная z расположена на контуре, который целиком находится на конечном расстоянии, и, следовательно, мы можем написать разложение в ряд

равномерно сходящийся на контуре интегрирования. Подставляя этот ряд и интегрируя почленно, мы представим наше решение в виде

где С—произвольная постоянная, т. е. построенное нами решение и есть как раз регулярное начале координат) решение. Надо только иметь в виду то обстоятельство, что это решение не должно быть равно тождественно нулю, что может произойти лишь в исключительных случаях.

Решение (125) является целой функцией, поскольку второй особой точкой является Решение (125) теряет смысл, если и q — целые положительные числа, ибо в этом случае все интегралы, входящие в эту формулу, равны нулю согласно теореме Коши. Нетрудно видеть, что значения этих интегралов при любых и q не зависят от выбора начальной точки интегрирования контура Важно лишь фиксирование значений многозначных функций в какой-либо точке упомянутого контура. Это влияет лишь на постоянный множитель С. Независимость от связана с тем, что при полном обходе контура мы возвращаемся к исходному значению подинтегральной функции в интеграле (124).

Отметим, что если вещественные части чисел и q положительны, то произведение обращается в нуль при и в этом случае упомянутое регулярное решение может быть представлено интегралом по прямолинейному отрезку от

Значение многозначных множителей в подинтегральной функции влияет лишь на постоянную С.

Возвращаемся к общему случаю. Будем только предполагать, что числа имеют различные мнимые части (это несущественно). Проведем из этих точек разрезы параллельные оси X и направленные на . На плоскости с проведенными разрезами (рис. 66) подинтегральная функция интеграла (122) однозначна. Мы выбираем ту ветвь ее, для которой при т. e. на продолжении первого разреза, и при Указанные на рис. 66 контуры выбираем за контуры интегрирования. Мы получаем, таким образом, два решения уравнения (112):

Рис. 66.

Считаем, что при стремлении аргумент стремится к на верхнем берегу разреза. Можно считать, например, что при достаточно больших контур 4 идет по нижнему и верхнему берегам разреза. Для сходимости интегралов (127) надо ограничиться такими значениями , при которых . Это условие наверное выполнено, если

так как при этом

или

для всех достаточно больших Если мы положим где — какое-либо положительное число, и выполнено условие

где любое малое положительное число, то сходимость интегралов (127) будет равномерной по отношению к

Пользуясь формулой Коши, мы можем поворачивать, например, разрез вокруг точки При этом надо иметь в виду, чтобы он при указанном повороте не пересекал точки и чтобы вещественная часть была отрицательной при больших задано и При повороте разреза надо считать при Мы приходим, таким образом, к аналитическому продолжению

решений из сектора (129). Более подробно мы будем говорить об этом ниже в связи с исследованием уравнения Бесселя.

Установим теперь связь решений (127) с тем решением уравнения (112), которое регулярно в начале координат. Имея в виду дальнейшие приложения к уравнению Бесселя, ограничимся случаем, когда . В этом случае для получения регулярного (в начале координат) решения можно брать за контур интегрирования не контур упомянутый выше, но более простой контур, а именно контур, выходящий из некоторой точки и обходящий в положительном направлении, а затем в отрицательном направлении. При первом обходе подинтегральная функция получит множитель а при втором — множитель так что она вернется к исходному значению, и условие (123) будет выполнено. Как и выше, построенное решение не зависит от выбора точки . Отведем эту точку, не затрагивая точек сиг и на , например, по нижнему берегу разреза и идущего в точку (рис. 67).

Рис. 67.

Обход точки даст нам при этом решение . После этого обхода мы попадем на верхний берег упомянутого разреза и должны будем затем обойти точку а в отрицательном направлении. Если бы мы совершили этот обход с нижнего берега разреза то получили бы решение . Но при переходе на верхний берег разреза, откуда и совершается обход точки подинтегральная функция приобрела множитель и, следовательно, обход вокруг в отрицательном направлении даст нам . Окончательно получаем следующее правило: при регулярный интеграл, получаемый интегрированием по контуру, указанному на рис. 67, выражается через решения (127) в виде

Дальше мы укажем на возможность применения преобразована Лапласа и для уравнений, отличных от уравнений вида (112). Сейчас мы рассмотрим применение указанного преобразования к уравнению Бесссля.