161. Полиномы Лагерра.

Исследование состояния электрона, находящегося в кулоновом поле, а также некоторые другие задачи современной физики приводят к линейному уравнению второго порядка следующего вида:

Здесь — заданное вещественное неотрицательное число и — вещественный параметр. Задача состоит в нахождении таких значений этого параметра, при которых уравнение (32) допускает решение, которое остается ограниченным на всем отрезке вещественной оси.

Разберем область отрицательных значений параметра и введем в этом случае вместо z новую независимую переменную по формуле

и вместо параметра введем новый положительный параметр по формуле

После таких преобразований уравнение (32), как нетрудно проверить, приводится к виду

Точка является регулярной особой точкой для этого уравнения, и определяющее уравнение в этой точке будет иметь вид

Это последнее уравнение имеет корни . Принимая во внимание требование ограниченности решений в начале координат, мы должны будем взять корень , т. е. выделить из нашего решения множитель и наше решение вблизи начала должно иметь вид

В окрестности бесконечно далекой точки мы, согласно [116], будем пытаться формально удовлетворить уравнению (33) выражением вида

Квадратное уравнение для а будет

Оно даст нам два значения и соответствующие значения постоянной будут

Принимая во внимание условия ограниченности решения на бесконечности, мы должны взять то решение, которое на бесконечности имеет асимптотическое представление вида

Таким образом, задача сводится к определению тех значений X, для которых решение вида (34) при аналитическом продолжении вдоль отрезка имеет на бесконечности представление (35).

Предыдущие соображения, естественно, приводят к тому, чтобы вместо w ввести новую искомую функцию у по формуле

Подставляя w в уравнение (33), мы получим для у уравнение

Это уравнение имеет вид уравнения из [116]. Принимая во внимание наши предыдущие соображения, мы должны найти решение уравнения (37), регулярное в начале и такое, что w ограничено на бесконечности.

Если положим для краткости

то уравнение (37) сможем записать так:

Если обозначить

то решение уравнения (39), регулярное в начале, будет [115]

где С — произвольная постоянная. Очевидно, что ряд (40) обрывается, если а равно нулю или целому отрицательному числу, и в этом случае наше решение будет удовлетворять требуемому условию на

бесконечности. Принимая во внимание (38), мы получаем, таким образом, следующее уравнение для определения параметра X:

откуда

При таком значении параметра искомое решение уравнения (39) будет

Выберем постоянную следующим образом:

откуда окончательно получаем следующее решение уравнения (39) в виде полинома от

или

Эти полиномы называются обобщенными полиномами Лагерра. Можно показать, что формула (42) дает все значения параметра, при которых наша задача имеет решение, удовлетворяющее поставленным условиям в точках

Пользуясь рассуждениями, совершенно аналогичными рассуждениям из [105], мы можем дать простое выражение обобщенных полиномов Лагерра. Ряд (40) является решением уравнения

Если продифференцировать его раз, то получим ряд

и, обозначая видим, что производная порядка

является решением уравнения (45), в котором а и у заменены на , т. е.

Умножая обе части этого уравнения на мы можем переписать его в следующей форме:

Дифференцируя это тождество раз, получим

Образуя подобные равенства для перемножая их почленно и производя очевидные сокращения, будем иметь

Положим, что а равняется целому отрицательному числу так что ряд (40) представляет собою полином степени k, а есть постоянная

Формула (47) дает при этом

так что окончательно получим

В силу будем иметь, таким образом, следующее выражение для обобщенных полиномов Лагерра:

Эти полиномы являются решениями уравнения

Число s мы считаем теперь вещественным

Полиномы Лагерра совершенно аналогичны полиномам Эрмита, но только для них основным промежутком является не промежуток а промежуток Формула (36) дает нам функции Лагерра, аналогичные функциям Эрмита:

Эти функции являются решениями уравнения

Как всегда, нетрудно вывести свойства ортогональности этих функций:

или, в силу (49),

Займемся теперь вычислением интеграла (52) при Согласно определению полиномов Лагерра, мы имеем

Интегрируя по частям, получим

причем, как и для полиномов Эрмита, внеинтегральный член обращается в нуль. Производя многократное интегрирование по частям, придем окончательно к интегралу

Но есть произведение на старший коэффициент полинома Применяя формулу Лейбница к производной, стоящей в формуле (48), нетрудно видеть, что этот старший коэффициент

равен и, таким образом, мы можем написать

или, вспоминая определение функции получаем окончательно

Можно рассматривать, так же как и для полиномов Эрмита, разложение произвольной функции в ряд по полиномам Лагерра в промежутке

Построим теперь производящую функцию для полиномов Лагерра. Согласно формуле (48) и теореме Коши, выражающей производную порядка от функции при можно написать

где малый замкнутый контур, обходящий вокруг точки . Заметим, что функция будет регулярна на всей плоскости, кроме точки , где она имеет точку разветвления, если не есть целое число. Вводя вместо 2 новую переменную интегрирования

подставляя в интеграл и сокращая на мы получим

где малый замкнутый контур, обходящий вокруг

Отсюда видно, что суть коэффициенты в разложении функции

в ряд Маклорена по степеням t, т. е.

Из этой формулы можно вывести ряд простых соотношений для полиномов Лагерра. Дифференцируя обе части (54) по получим

или

откуда, сравнивая коэффициенты при имеем

Совершенно аналогично, дифференцируя обе части (54) по t, придем к соотношению

Наконец, если умножим обе части (54) на то получим еще следующее соотношение:

Часто вместо полиномов рассматривают полиномы Применяя к формуле (48) несколько раз теорему Ролля, можно показать, что все корни вещественны, различны и находятся внутри промежутка .